Задачи на планиметрию

citrus · Сообщение **citrus** » 17 дек 2009, 17:06

Имеется две задачи

B двум окружностым радиусов R и r, находящимися в положении внешнего касания, проведены их общие внешние касательные. Определить площадь трапеции, ограниченной этими касательными и хордами, соединяющими точки касания.

Угол при основании равнобедренного треугольника равен $\alpha$ . Найти площадь описанного около треугольника круга, если радиус вписанной в треугольник окружности равен r.

Честно, не знаю как к ним подступиться и c чего лучше начать..

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 17 дек 2009, 17:20

citrus писал(а):Source of the post
Честно, не знаю как к ним подступиться и c чего лучше начать..

Начать лучше c хорошего чертежа.

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 17 дек 2009, 18:28

Угол при основании равнобедренного треугольника равен $\alpha$ . Найти площадь описанного около треугольника круга, если радиус вписанной в треугольник окружности равен r.

Пусть боковая сторона треугольника равна $$a$$

. Тогда по теореме синусов получим:

$\frac {a} {\sin \alpha}=\frac {b} {\sin ( \pi -2 \alpha)} \Leftrightarrow b=\frac {a \sin 2 \alpha} { \sin \alpha}=2 a \cos \alpha$ .

Согласно формуле Герона: $S=\sqrt{p(p-a)(p-a)(p-b)}=a^2 \sin \alpha \cos \alpha$ .
Площадь треугольника и радиус вписанной в него окружности связаны: $S= r p = r (a+a \cos \alpha)$ . Приравнивая эти два равенства, получим значение $$a$$

: $a=\frac {r(1+ \cos \alpha)} {\sin \alpha \cos \alpha}$ . Площадь треугольника и радиус описанной около него окружности связаны следующей формулой: $S=\frac {a b c } {4R}=\frac {a^3 \cos \alpha} {2R}$ . Приравниваем полученное по формуле Герона и по указанной выше формуле: $R=\frac {a} {2 \sin \alpha}$ . Следовательно, $R=\frac {r(1+ \cos \alpha)} {2 \sin^2 \alpha \cos \alpha}$ .

$S_O= \pi \frac {r^2(1+ \cos \alpha)^2} {4 \sin^4 \alpha \cos^2 \alpha}= \frac {4 \pi r^2 \cos^4 (\frac { \alpha } {2}) } { \sin^2 \alpha \sin^2 2 \alpha}$

citrus · Сообщение **citrus** » 17 дек 2009, 19:14

$\frac {\pi*r^2*\ctg^2\frac {\alpha} {2} } {sin^22\alpha}$

вот такой ответ должен быть..он же вроде не совпадает c вашим..(

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 17 дек 2009, 20:32

Угол при основании равнобедренного треугольника равен $\alpha$ . Найти площадь описанного около треугольника круга, если радиус вписанной в треугольник окружности равен r.

Если AC - основание 3-ка из условия ABC, то угол ACB = $\alpha$
Тогда боковая сторона BC=L= $rtg(\alpha)+\frac{r}{tg(\alpha /2)}$
Если O - центр описанной окружности, то угол BOC= $2\alpha$ и опуская высоту в 3-ке BOC из O, получим: $\frac{L}{2R}=sin(\alpha)$ Здесь R - радиус описанной окружности. Значит:
$R=\frac{L}{2sin(\alpha)}=\frac{r}{2sin(\alpha)}(tg(\alpha)+ctg(\alpha /2)=\frac{r}{2cos(\alpha)(1-cos(\alpha))}$

yourdomain.com