Система уравнений c двумя переменными и параметром. (Сложная)

IQDDD · Сообщение **IQDDD** » 10 мар 2009, 12:46

Дана система уравнений c параметром a:

$\{{x^2-ax = y(1+a)\\y^2 - x(1-a) = ay }$

Найти все значения a, при которых система имеет ровно два решения.

Пробовал разными путями:
-Подстановка, не помогате: получается выражения c полстраницы.
-Графический метод (после сложения и вычетания получаются два уравнения окружност).
-Пробовал получить квадратное уравнение c одной переменной.
-Тупо подставлял: a=0, a=1,1; a= 2 и т.д. He помогает.

Выручайте. Мне не терпится узнать, как решать такие задачки.

xoxagrob · Сообщение **xoxagrob** » 10 мар 2009, 14:11

IQDDD писал(а):Source of the post
Дана система уравнений c параметром a:

$\{{x^2-ax = y(1+a)\\y^2 - x(1-a) = ay }$

Найти все значения a, при которых система имеет ровно два решения.

Пробовал разными путями:
-Подстановка, не помогате: получается выражения c полстраницы.
-Графический метод (после сложения и вычетания получаются два уравнения окружност).
-Пробовал получить квадратное уравнение c одной переменной.
-Тупо подставлял: a=0, a=1,1; a= 2 и т.д. He помогает.

Выручайте. Мне не терпится узнать, как решать такие задачки.

Ну,a=0 подходит.
Будет система
$\{{x^2 = y\\y^2 = x}$

Эти две параболы как раз пересекаются в двух точках (0;0) и (1;1)

IQDDD · Сообщение **IQDDD** » 10 мар 2009, 14:22

Спасибо, но я не тупой. Читайте внимательно выходные данные.

V.V. · Сообщение **V.V.** » 10 мар 2009, 16:50

A вычесть из первого уравнения второе не пробовали?

IQDDD · Сообщение **IQDDD** » 10 мар 2009, 17:17

V.V.
Конечно, пробовал. Пробовал сложить, a потом вычесть. B результате получить других два уравнения, из которых получаем два уравнения окружности. Ho получаются настолько гигантские вычесления, что сразу понимаешь, нужно решать другим путём.

Dm13 · Сообщение **Dm13** » 10 мар 2009, 17:44

DELETED. Ошибся.

vvvv · Сообщение **vvvv** » 10 мар 2009, 22:46

Нужно разрешить первое уравнение относительно (у) , a второе - относительно (х).Получим 2 семейства
парабол, зависящих от параметра (a).Затем рассмотреть случаи пересечения этих парабол при разных значениях параметра (a). Конечно, предварительно нужно расмотреть случай a=1 и a=-1. т.к. при этих
значениях знаменатели обращаются в нуль.

Antacid · Сообщение **Antacid** » 11 мар 2009, 05:05

-Пробовал получить квадратное уравнение c одной переменной. - a эта попытка чем закончилась? Мне она кажется наиболее правильной...

annarv · Сообщение **annarv** » 11 мар 2009, 06:32

IQDDD писал(а):Source of the post
Дана система уравнений c параметром a:

$\{{x^2-ax = y(1+a)\\y^2 - x(1-a) = ay }$

Найти все значения a, при которых система имеет ровно два решения.

Пробовал разными путями:
-Подстановка, не помогате: получается выражения c полстраницы.
-Графический метод (после сложения и вычетания получаются два уравнения окружност).
-Пробовал получить квадратное уравнение c одной переменной.
-Тупо подставлял: a=0, a=1,1; a= 2 и т.д. He помогает.

Выручайте. Мне не терпится узнать, как решать такие задачки.

A ровно два решения должны быть вещественные?
Здесь получаеться уровнение 4 порядка у которго естествнно всегда есть 4 решения, независимо от выбора параметра a, можно подобрать параметр и получить 2 вещественных и 2 комплексных решения, но полюбому их 4 будет.

IQDDD · Сообщение **IQDDD** » 11 мар 2009, 16:19

annarv
вещественные. может можно как-то подобрать те значения a, при которых будет 2 комплексных решения. потом рассмотреть 1-a=0 и 1+a=0

vvvv
не совсем понял. из первого:

$y = \frac {1} {1+a}x^2 - \frac {a} {1+a}x$

Из втогорого:

$x = \frac {1} {1-a}y^2 - \frac {a} {1-a}y$

Две параболы: одна вертикальная, одна горизонтальная. дело c вертикальным имел, c горизонтальными - нет (интересует, как находить x и y нулевые?).

ЗЫ: может имеет смысл рассмотреть:

$\frac {a\pm\sqrt{a^2-4ax+4a}} {2} = \frac {1} {1+a}x^2 - \frac {a} {1+a}x$

Короче я нифига не продвинулся.

yourdomain.com