Задача на стереометрию

ilovesky · Сообщение **ilovesky** » 01 фев 2009, 13:21

Задача: Дано пирамижу OABC. Известно, что все плоские углы при вершине O прямые. Также OA=a, OB=b, OC=c. Найти площадь треугольника ABC, объем пирамиды, расстояние от O до противоположной грани и двугранные углы при ребрах AB, AC, BC.

Итак, начну рассуждения:
1) Объем $V=\frac 1 6 abc$ — самая простая часть.
2) $AB=\sqrt{a^2+b^2};\;AC=\sqrt{a^2+c^2};\;BC=\sqrt{c^2+b^2};\;\Rightarrow\;S_{\footnotesize{\Delta ABC}} = \frac 1 2 \sqrt{a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2}$
Вроде бы правильно вычислил, хотя не уверен.
3) $V=\frac 1 3 h S_{\Delta ABC} \; \Rightarrow \; h=\frac {\frac 1 6 abc} {\frac 1 3 S_{\Delta ABC}}=\frac {abc} {2S_{\Delta ABC}}$ , где h — высота, опущенная из O на ABC.

bot · Сообщение **bot** » 02 фев 2009, 06:53

Bce ответы верные. Второй пункт проверил векторным умножением, как считали Вы - не знаю. Неужто по Герону?
Ждём вычисления двугранных углов.

Георгий

Если треугольник ABC найден, легко найти все его высоты и их элементы. Высота пирамиды h. Из трех прямоугольных треугольников легко вычислить три двухгранных угла. Задача, кажется, вполне детская.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 02 фев 2009, 11:34

Георгий писал(а):Source of the post
Если треугольник ABC найден, легко найти все его высоты и их элементы. Высота пирамиды h. Из трех прямоугольных треугольников легко вычислить три двухгранных угла. Задача, кажется, вполне детская.

Действительно детская, но откуда он взял формулу для площади 3-ка?

Георгий

Я визуально понял, что это простая формула Герона. Получил что:
$( \sqrt {{a}^{2}+{b}^{2}}+\sqrt {{a}^{2}+{c}^{2}}+\sqrt {{b}^{2}+{c}^{2}})(\sqrt {{a}^{2}+{c}^{2}}+\sqrt {{b}^{2}+{c}^{2}}-\sqrt {{a}^{2}+{b}^{2}})(\sqrt {{a}^{2}+{b}^{2}}+\sqrt {{b}^{2}+{c}^{2}}-\sqrt {{a}^{2}+{c}^{2}})(\sqrt {{a}^{2}+{b}^{2}}+\sqrt {{a}^{2}+{c}^{2}}-\sqrt {{b}^{2}+{c}^{2}})$
и
$4\,{a}^{2}{c}^{2}+4\,{b}^{2}{c}^{2}+4\,{a}^{2}{b}^{2}$
тождественны.

Так что все вроде верно.

yourdomain.com