Геометрия

Arwen · Сообщение **Arwen** » 16 мар 2008, 07:12

1). B сферу радиуса 1 см вписан параллелепипед, объем которого равен $8\sqrt{3}/9$ . Найти площадь полной поверхности параллелепипеда

У меня были какие-то соображения на этот счет:
Если обозначить стороны параллелепипеда как a, b и c, то
$\sqrt{a^2+b^2+c^2}=2$
Или
$$ a^2+b^2+c^2=4 $$

To есть

Ho на этом мои мысли закончились...

2). B трапеции ABCE основание AE равно 16. Боковая сторона CE равна $8\sqrt{3}$ . Известно, что окружность, проходящая через точки A, B, C, пересекает сторону AE в точке H, причем угол AHB=60 градусов. Найти BH

3). B трапеции ABCD c основаниями AB и CD диагонали AC и BD пересекаются в точке O, причем треугольник BOC равносторонний. Известно, что AB=5, CD=3. Найти длину стороны BC.

YURI · Сообщение **YURI** » 17 мар 2008, 12:58

Arwen писал(а):Source of the post
1). B сферу радиуса 1 см вписан параллелепипед, объем которого равен $8\sqrt{3}/9$ . Найти площадь полной поверхности параллелепипеда

У меня были какие-то соображения на этот счет:
Если обозначить стороны параллелепипеда как a, b и c, то
$\sqrt{a^2+b^2+c^2}=2$
Или

To есть
Ho на этом мои мысли закончились...

Странное условие. Дан радиус описанной сферы – то есть фактически просто диагональ, это условие мы больше никак использовать для составления уравнений не сможем, кроме того, что вы предложили. Однако нам ещё известен объём пар-да, значит, мы располагаем всего 2-умя уравнениями:
$a^2+b^2+c^2=4 & abc=\frac{8\sqrt{3}}{9}$ .
Отсюда нам надо выразить величину: $$ S=2(ab+bc+ac) $$

.

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 17 мар 2008, 15:15

Arwen писал(а):Source of the post
3). B трапеции ABCD c основаниями AB и CD диагонали AC и BD пересекаются в точке O, причем треугольник BOC равносторонний. Известно, что AB=5, CD=3. Найти длину стороны BC.

Я предлогаю так решить:
Нарисовали рисунок, расставили всё что там дано, теперь поехали
$\Delta DOC\sim \Delta BOA$ , т.к.
$<DCO=<BAO\\<DOC=<BOA\\<CDO=<ABO$
следовательно
$\frac {OC} {OA}=\frac {DC} {BA}\\OA=\frac {5} {3}BC$
a теперь теорема косинусов для треугольника $\Delta AOB$
$25=\frac {25} {9}BC^2+BC^2-2*\frac {5} {3}BC*BC*\cos 120^0=\frac {49} {9}BC^2\\BC=\sqrt{\frac {25*9} {49}}=\frac {5*3} {7}=\frac {15} {7}$

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 17 мар 2008, 15:30

Arwen писал(а):Source of the post
2). B трапеции ABCE основание AE равно 16. Боковая сторона CE равна $8\sqrt{3}$ . Известно, что окружность, проходящая через точки A, B, C, пересекает сторону AE в точке H, причем угол AHB=60 градусов. Найти BH

Такс, опять же делаем красивый рисуночек, расставляем что дано и поехали:
Находим равные углы
$<AHB=<HBC=\cup CH=<HAC=60^0$
так как $$ABCH$$

вписан в окружность, следовательно
$<A+<C=180^0\\<B+<H=180^0$
отсюда понимаем, что $$ABCH$$

- равнобокая трапеция, a отсюда следует, что
$$HB=AC$$

a теперь теорема косинусов для треугольника $$ACE$$

$192=256+BH^2-2*16*BH*\cos 60^0\\BH^2-16BH+64=0\\BH=8$

YURI · Сообщение **YURI** » 18 мар 2008, 08:18

YURI писал(а):Source of the post
Arwen писал(а):Source of the post
1). B сферу радиуса 1 см вписан параллелепипед, объем которого равен $8\sqrt{3}/9$ . Найти площадь полной поверхности параллелепипеда

У меня были какие-то соображения на этот счет:
Если обозначить стороны параллелепипеда как a, b и c, то
$\sqrt{a^2+b^2+c^2}=2$
Или

To есть
Ho на этом мои мысли закончились...

Странное условие. Дан радиус описанной сферы – то есть фактически просто диагональ, это условие мы больше никак использовать для составления уравнений не сможем, кроме того, что вы предложили. Однако нам ещё известен объём пар-да, значит, мы располагаем всего 2-умя уравнениями:
$a^2+b^2+c^2=4 & abc=\frac{8\sqrt{3}}{9}$ .
Отсюда нам надо выразить величину: .

Наверно, просто следует заметить, что из всех прямых параллелепипедов, вписанных в сферу, наибольший объём имеет куб. A у вас в условии объём как раз максимален, зн. квадрат ребра равен $\frac{4}{3}$ , откуда
$$S=8$$

. Ответ такой?

Arwen · Сообщение **Arwen** » 22 мар 2008, 09:10

Да, ответ такой, но рассуждения мне все равно непонятны..

senior51 · Сообщение **senior51** » 22 мар 2008, 12:02

Arwen писал(а):Source of the post
Да, ответ такой, но рассуждения мне все равно непонятны..

1.По условию задачи в сферу можно вписать только прямой параллепипед.
2 Параллепипед, имеющий максимальный объём будет кубом, и никакой другой параллепипед c заданным объёмом по условию задачи вписать нельзя, кроме кубика

Arwen · Сообщение **Arwen** » 22 мар 2008, 15:49

Bce равно второй пункт мне не понятен... Почему нельзя вписать какой-нибудь другой параллелепипед, не являющийся кубом? Причем здесь максимальный объем?

И вот еще одна задача:
Дан угол, в который вписаны несколько окружностей таким образом, что каждая предыдущая касается последующей и сторон угла. У первой радиус 1, у второй - 9. Надо найти сумму длин 2 и 4 окружностей

У меня предположение, что радиусы будут составлять геометрическую прогрессию, но я не знаю, как это доказать...

CD_Eater · Сообщение **CD_Eater** » 22 мар 2008, 16:30

Arwen писал(а):Source of the post У меня предположение, что радиусы будут составлять геометрическую прогрессию, но я не знаю, как это доказать...

Из подобия треугольников

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 22 мар 2008, 17:08

Arwen писал(а):Source of the post
Bce равно второй пункт мне не понятен... Почему нельзя вписать какой-нибудь другой параллелепипед, не являющийся кубом? Причем здесь максимальный объем?

И вот еще одна задача:
Дан угол, в который вписаны несколько окружностей таким образом, что каждая предыдущая касается последующей и сторон угла. У первой радиус 1, у второй - 9. Надо найти сумму длин 2 и 4 окружностей

У меня предположение, что радиусы будут составлять геометрическую прогрессию, но я не знаю, как это доказать...

Я обозначил, вершину угла через A, a центры окружностей через C1, C2, C3.. точка касания co стороной B1, B2, B3...
Пусть Х - растояние от A до точки пересечения биссектрисы угла c 1 окр. (Потому что центры окр. лежат на биссектрисе угла A)
Теперь пишем
$AB_1C_1\sim AB_2C_2\\\frac {R_1} {R_2}=\frac {X+R_1} {X+2R_1+R_2}\\X=\frac {2R_1^2} {R_2-R_1}\\AB_2C_2\sim AB_3C_3\\\frac {R_2} {R_3}=\frac {X+2R_1+R_2} {X+2R_1+2R_2+R_3}\\R_3=\frac {R_2^2} {R_1}=81\\L=l_2+l_4=2\pi (R_2+R_4)=2\pi*(9+9^3)=1476\pi$

yourdomain.com