Страница 1 из 1

решите задачу

Добавлено: 17 июн 2007, 13:53
Auris
Всю неделю задачи решались просто замечательно, a к выходным опять тупик. посмотрите две задачки:
1. четырехугольник ABCD co сторонами AB=6, BC=6(sqrt2), CD=2(sqrt7), DA=8 вписан в окружность. Найти длину окружности.
2. Две окружности вписаны в угол величины a. Найти иотношение их радиусов, если известно, что при увеличении радиуса меньшей окружности в 2 раза c сохранением центра, она извне касается окружности.
Спасибо.

решите задачу

Добавлено: 17 июн 2007, 14:32
AV_77
Auris писал(а):Source of the post
1. четырехугольник ABCD co сторонами AB=6, BC=6(sqrt2), CD=2(sqrt7), DA=8 вписан в окружность. Найти длину окружности.


Сначала замечаем, что у вписанного в окружность четырехугольника сумма противолежащих углов равна $$ \pi $$.
Теперь, по теореме косинусов, ищем длину отрезка AC:
$$ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos \alpha = AD^2 + CD^2 - 2 AD \cdot DC \cdot \cos (\pi - \alpha) $$,
где $$ \alpha $$ - угол ABC.
Из этого уравнения находим угол $$ \alpha $$. Затем находим длину отрезка AC. После этого, из вписанного треугольника ABC находим радиус окружности:
$$ R = \frac{1}{2} \frac{AC}{\sin \alpha} $$.
Ну и, наконец, находим длину окружности $$ l = 2 \pi R. $$

решите задачу

Добавлено: 18 июн 2007, 00:10
kallisto
2. Две окружности вписаны в угол величины a. Найти иотношение их радиусов, если известно, что при увеличении радиуса меньшей окружности в 2 раза c сохранением центра, она извне касается окружности.

Если не ошибаюсь, то так:
Пусть r и R соответственно - радиусы окружностей, x = r / sin(a/2) - расстояние от вершины угла до центра меньшей окружности, тогда получается, что расстояние от вершины угла до центра большей окружности = x + r + R. Проведем радиусы в точки касания окружностей co одной из сторон угла, тогда из подобия прямоугольных треугольников: $$ \frac {r} {R} = \frac {x} {x + r + R}$$

Отсюда выражаем:
$$R = \frac {rx + r^2} {x - r}$$
$$R = \frac {r(x + r)} {x - r}$$
$$\frac {r} {R} = \frac {x - r} {x + r} = \frac {1 - sin(\frac {a} {2})} {1 + sin(\frac {a} {2})}$$

решите задачу

Добавлено: 18 июн 2007, 00:14
AV_77
Auris писал(а):Source of the post
2. Две окружности вписаны в угол величины a. Найти иотношение их радиусов, если известно, что при увеличении радиуса меньшей окружности в 2 раза c сохранением центра, она извне касается окружности.


Рассмотрим рисунок.
Пусть $$ AB = b $$. По условию задачи, $$ BD = r,\ CE = R,\ BC = 2r+R $$.
Из прямоугольного треугольника ABD получаем
$$ r = b \sin \frac{a}{2} $$ или $$ b = \frac{r}{\sin \frac{a}{2}}. $$ Для удобства, положим $$ \frac{a}{2} = \alpha $$.
Из прямоугольного треугольника ACE получаем
$$ R = (b + 2r + R) \sin \alpha = \left( \frac{r}{\sin \alpha} + 2r + R \right) \sin \alpha $$.
Приводя подобные члены, получим
$$ R(1 - \sin \alpha) = r(1 + 2 \sin \alpha) $$
или
$$ \frac{R}{r} = \frac{(1 - \sin \alpha)}{(1 + 2 \sin \alpha)} $$.

kallisto , отличное решение, но есть небольшая ошибка: расстояние от вершины угла до центра большой окружности равно $$ x + 2r + R $$.

Изображение

решите задачу

Добавлено: 18 июн 2007, 18:01
Auris
kallisto, AV_77 - спасибо. :yes:
Дайте совет, a где поискать материал по решениям таких вот нестандартных задач, каждый раз новый прием. Говорят, есть какие то опорные задачи.

решите задачу

Добавлено: 23 июн 2007, 02:39
kallisto
B задачнике Сканави много полезных задач