Страница 1 из 1
решите задачу
Добавлено: 17 июн 2007, 13:53
Auris
Всю неделю задачи решались просто замечательно, a к выходным опять тупик. посмотрите две задачки:
1. четырехугольник ABCD co сторонами AB=6, BC=6(sqrt2), CD=2(sqrt7), DA=8 вписан в окружность. Найти длину окружности.
2. Две окружности вписаны в угол величины a. Найти иотношение их радиусов, если известно, что при увеличении радиуса меньшей окружности в 2 раза c сохранением центра, она извне касается окружности.
Спасибо.
решите задачу
Добавлено: 17 июн 2007, 14:32
AV_77
Auris писал(а):Source of the post 1. четырехугольник ABCD co сторонами AB=6, BC=6(sqrt2), CD=2(sqrt7), DA=8 вписан в окружность. Найти длину окружности.
Сначала замечаем, что у вписанного в окружность четырехугольника сумма противолежащих углов равна
.
Теперь, по теореме косинусов, ищем длину отрезка AC:
,
где
- угол ABC.
Из этого уравнения находим угол
. Затем находим длину отрезка AC. После этого, из вписанного треугольника ABC находим радиус окружности:
.
Ну и, наконец, находим длину окружности
решите задачу
Добавлено: 18 июн 2007, 00:10
kallisto
2. Две окружности вписаны в угол величины a. Найти иотношение их радиусов, если известно, что при увеличении радиуса меньшей окружности в 2 раза c сохранением центра, она извне касается окружности.
Если не ошибаюсь, то так:
Пусть r и R соответственно - радиусы окружностей, x = r / sin(a/2) - расстояние от вершины угла до центра меньшей окружности, тогда получается, что расстояние от вершины угла до центра большей окружности = x + r + R. Проведем радиусы в точки касания окружностей co одной из сторон угла, тогда из подобия прямоугольных треугольников:
Отсюда выражаем:
решите задачу
Добавлено: 18 июн 2007, 00:14
AV_77
Auris писал(а):Source of the post 2. Две окружности вписаны в угол величины a. Найти иотношение их радиусов, если известно, что при увеличении радиуса меньшей окружности в 2 раза c сохранением центра, она извне касается окружности.
Рассмотрим рисунок.
Пусть
. По условию задачи,
.
Из прямоугольного треугольника ABD получаем
или
Для удобства, положим
.
Из прямоугольного треугольника ACE получаем
.
Приводя подобные члены, получим
или
.
kallisto , отличное решение, но есть небольшая ошибка: расстояние от вершины угла до центра большой окружности равно
.
решите задачу
Добавлено: 18 июн 2007, 18:01
Auris
kallisto, AV_77 - спасибо. :yes:
Дайте совет, a где поискать материал по решениям таких вот нестандартных задач, каждый раз новый прием. Говорят, есть какие то опорные задачи.
решите задачу
Добавлено: 23 июн 2007, 02:39
kallisto
B задачнике Сканави много полезных задач