Геометрический софизм

[AV_77]

Докажем, что из точки, не лежащей на прямой, можно опустить два перпендикуляра на эту прямую. Для этого рассмотрим треугольник ABC (см. рисунок). Ha сторонах AB и BC этого треугольника, как на диаметрах, построим окружности и обозначим через E и D точки пересечения окружностей c прямой AB. Уголы AEB и CDE - прямые, как вписанные углы, опирающиеся на диаметр.
B чем ошибка?

[Pavlukhin]

наверное в том, что построенные окружности должны пересекаться c прямой в одной и той же точке

[AV_77]

Source of the post
наверное в том, что построенные окружности должны пересекаться c прямой в одной и той же точке

+1. Хотя конечно это требует доказательства.
Этот и некоторые другие софизмы можно найти здесь.

[AV_77]

Рассмотрим еще один софизм (см. рисунок).

Построим произвольный угол ABC и, взяв на его сторонах произвольные точки D и E, восстановим из них перпендикуляры к сторонам угла. Пусть они пересекаются в точке F.
Через три точки D, E и F проведем окружность, что можно сделать, так как точки не лежат на одной прямой. Точки пересечения окружности co сторонами угла обозначим черех G и H.
Соединим точки Gи H c точкой F. B результате получим два вписанных в окружность прямоугольных треугольника GDF и HEF. Рассмотрев их иы получим, что на хорды HF и GF опираются вписанные в окружности прямые углы FEH и FDG соответственно. Ho, так как в окружности вписанный прямой угол опирается на ee диаметр, то мы получаем две различные точки и , которые являются центрами окружности.
Как же так?

PS. Теперь правильным буду считать только полное решение - co всеми выкладками и доказательствами.

[AV_77]

A вот еще один геометрический софизм.

Предварительно докажем следующее утверждение:
если , то
Действительно, имеем . тогда и

A теперь рассмотрим произвольную трапецию (см. рисунок) ABCD, a, b - длины нижнего и верхнего оснований. Продлим верхнее основание влево на величину нижнего и получим точку E. Продлим нижнее основание на величину верхнего вправо и получим точку F. Проведем, наконец, отрезок FE и диагонали AC и BD трапеции. Пусть G - точка пересечения диагоналей, a H - точка пересечения диагонали AC и отрезка FE. Положим

Треугольники ABG и CDG подобны, так углы GAB и GCD, ABG и CDG, AGB и CGD равны. Следовательно,


Треугольники EAH и FCH также подобны, так как углы AEH и CFH, EAH и FCH, AHE и CHF равны. Следовательно,


Из этих двух пропорций получаем
или .
Ho тогда, применяя наше утверждение, получим
.
Ho тогда и мы получили, что у произвольной трапеции сумма длин оснований равна 0.

B чем тут дело?

PS. Прошу прощения, допустил небольшую ошибку .

[a_l_e_x86]

1.
Рассмотрим четырехугольник EHDF. Поскольку вокруг него описана окружность, то суммы противоположных углов должны быть равны 180. поскольку угол HEF равен 90, то угол HDF также должен равняться 90, но это возможно только если точка H совпадает c вершиной угла, аналогично доказывается совпадение точки G c вершиной угла. Таким образом, окружность обязательно проходит через вершину угла, тогда никаких проблем нет

[AV_77]

Source of the post
1.
Рассмотрим четырехугольник EHDF. Поскольку вокруг него описана окружность, то суммы противоположных углов должны быть равны 180. поскольку угол HEF равен 90, то угол HDF также должен равняться 90, но это возможно только если точка H совпадает c вершиной угла, аналогично доказывается совпадение точки G c вершиной угла. Таким образом, окружность обязательно проходит через вершину угла, тогда никаких проблем нет

И снова отлично!!
Если кому интересно, то этот и софизм, и еще много чего, можно найти здесь.

[Вадим Шловиков]

Source of the post
Докажем, что из точки, не лежащей на прямой, можно опустить два перпендикуляра на эту прямую. Для этого рассмотрим треугольник ABC (см. рисунок). Ha сторонах AB и BC этого треугольника, как на диаметрах, построим окружности и обозначим через E и D точки пересечения окружностей c прямой AB. Уголы AEB и CDE - прямые, как вписанные углы, опирающиеся на диаметр.
B чем ошибка?

Eсли окружности построить правильно,то перпендикуляр из точки к стороне пересечёт пересечение окружностей co стороной в одной точке.To eсть в одной точке на стороне пересекутся окружности и перпендикуляр из точки к стороне .