Сторону треугольника принимаем за 1, то есть считаем, что a - это 1 a(ршин) и во всех вычислениях единицу измерения длины аршин опускаем.
To, что сделал
Pavlukhin, можно изобразить на комплексной плоскости.
Помещаем наш треугольник на комплексную плоскость так, что точки
A, C и B попали соответственно в
и
(У
Pavlukhin'a начало в точке C).
Тогда точки M и N соответственно попадут в
и
.
Расстояние на комплексной плоскости между точками
и
- это модуль их разности
. Из равенства AM=MN получаем уравнение из которого находим x, после чего находим CM.
Вычисления будут практически те же.
Если выбирать координатное решение, то я бы выбрал косоугольную систему координат - там вычислений будет несколько меньше.
Положим
и начало координат поместим в точку A.
Без труда вычисляем координаты точек в полученном репере:
.
При подсчёте расстояний между точками используем скалярное произведение и должны учитывать, что скалярное произведение векторов
и
равно
, a не ноль, как в прямоугольной системе. Это маленькое усложнение c лихвой компенсируется лёгкостью вычисления координат и отсутствием там и сям
.
Ну и наконец без всяких координат, типа по школьному берём на вооружение теорему косинусов.
B треугольнике ABN нам известны две стороны и угол между ними, отсюда вычисляем AN и его половину AO. Снова по теореме косинусов из этого же треугольника вычисляем косинус угла BAN. Так как треугольник AMN равнобедренный, то AOM - прямоугольный. Зная в нём катет AO и косинус прилежащего угла, вычисляем гипотенузу AM. Наконец, вычисляем MC по теореме косинусов из треугольника AMC.
Два последних сценария я просчитал и в обоих случаях получил тот же ответ