Доказать неравенство

GEPIDIUM · Сообщение **GEPIDIUM** » 02 ноя 2016, 10:13

Между прочим, тут мне в личку один уважаемый форумчанин скинул доказательство данного неравенства. Называть его не буду, не знаю, наверное, не хочет светиться в теме. Хотя почему? Ну это его дело.
Так вот решение вроде правильное. Но во его подход вызывает сомнение. Он изначально принял данное неравенство за истинное. И преобразовывая его, пришёл к бесспорно верному утверждению. Всё понятно, кроме одного. Ведь истинность исходного неравенства нам нужно было доказать, а он от него отталкивался как от верного. Вот я и спрашиваю: допустим ли такой подход?

12d3 · Сообщение **12d3** » 02 ноя 2016, 11:11

GEPIDIUM писал(а):Source of the post Что-то не соображу, как я могу оценить величину этих слагаемых.

Теперь раскройте точно также $\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n$ и сравните поштучно соответствующие слагамые: первое с первым второе со вторым, энное с энным.энплюспервое с энплюспервым. Энплюсвторое пусть в сторонке пока посидит.

GEPIDIUM писал(а):Source of the post Ведь истинность исходного неравенства нам нужно было доказать, а он от него отталкивался как от верного.

Если преобразования равносильны, то подход верен. Но на мой взгляд, лучше такой подход оформлять как доказательство от противного.

TR63 · Сообщение **TR63** » 02 ноя 2016, 19:21

Возрастание доказывается с помощью неравенства Коши-Буняковского. Надо положить $a_1=1,a_2=a_3=...=a_n=\frac{n}{n-1}$

GEPIDIUM · Сообщение **GEPIDIUM** » 03 ноя 2016, 07:01

GEPIDIUM писал(а):Source of the post Но во его подход вызывает сомнение. Он изначально принял данное неравенство за истинное. И преобразовывая его, пришёл к бесспорно верному утверждению. Всё понятно, кроме одного. Ведь истинность исходного неравенства нам нужно было доказать, а он от него отталкивался как от верного. Вот я и спрашиваю: допустим ли такой подход?

12d3 писал(а):Source of the post Если преобразования равносильны, то подход верен. Но на мой взгляд, лучше такой подход оформлять как доказательство от противного.

12d3, я понимаю это так. Нам нужно доказать истинность утверждения А. Мы делаем допущение, что оно истинно, и путём эквивалентных преобразований приходим к очевидному утверждению В. Но ведь логичней сделать так: принять за исходную посылку очевидное утверждение В и проводя все преобразования в обратном порядке, прийти требуемому утверждению А.
Вот только вопрос: как при взгляде на утверждение А, которое нам нужно доказать, можно догадаться, что нужно исходить из очевидного утверждения В? Похоже, что никак. Я верно мыслю?
ARRY, спасибо за подробное, а главное, несложное доказательство. Неравенство Коши, я, конечно, знала, только мне и в голову не приходило, что его здесь можно применить.

TR63 · Сообщение **TR63** » 03 ноя 2016, 09:24

12d3 писал(а):Source of the post Shadows, предложенные вами методы имеют один небольшой недостаток - в них так или иначе неявно используется второй замечательный предел, для вывода которого надо доказать требуемое неравенство.

Для рациональной степени неравенство Бернулли доказывается элементарно методом матиндукции. Причём здесь второй замечательный предел? Не поняла. По-моему с Бернулли доказательство о, по крайней мере, неубывании последовательности корректно и неплохо смотрится.

12d3 · Сообщение **12d3** » 03 ноя 2016, 09:36

TR63 писал(а):Source of the post Для рациональной степени неравенство Бернулли доказывается элементарно методом матиндукции.

Не могли бы вы показать? Буду очень благодарен. Мне известно, как для натуральной степени элементарно доказывается, и как для произвольной степени, но с применением матанализа уже.

TR63 · Сообщение **TR63** » 03 ноя 2016, 11:32

12d3, Вы правы. Классического доказательства методом матиндукции, возможно, не существует. С применением матиндукции знаю только, основанное на гипотезе. (Но в этой теме это не к месту; свой вопрос отзываю, т.к., благодаря Вашему замечанию, уже разобралась; спасибо.)

GEPIDIUM · Сообщение **GEPIDIUM** » 03 ноя 2016, 14:07

Разобралась. Всем спасибо за помощь. Особая благодарность 12d3 и ARRY за деятельное участие.

ARRY · Сообщение **ARRY** » 03 ноя 2016, 17:56

GEPIDIUM писал(а):Source of the post в учебнике написано, что последовательность возрастающая, о чём известно из школьного курса алгебры.

А вы знаете, ведь ТС права. Для решения не нужно знать ни бином Ньютона, ни предел последовательности, ни поведение производной возрастающей функции, никакого матанализа вообще. Задача примерно на уровне 9-го класса. Нужно знать только основные свойства неравенств, что такое среднее арифметическое, среднее геометрическое и то, что первое не меньше второго.

ARRY писал(а):Source of the post Как вариант, предлагаю неравенство Коши.

TR63 писал(а):Source of the post Возрастание доказывается с помощью неравенства Коши-Буняковского. Надо положить $a_1=1,a_2=a_3=...=a_n=\frac{n}{n-1}$

Именно так. Только я тут прикинул, лучше взять $$n+1$$

чисел таких: $\displaystyle \underbrace{\left (1+\frac{1}{n}\right ),\left (1+\frac{1}{n}\right ),\ldots ,\left (1+\frac{1}{n}\right )}_{n}$ и $$1$$

. Применим к ним теорему Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом:
$\displaystyle \frac {\displaystyle \left (1+\frac{1}{n}\right )+\left (1+\frac{1}{n}\right )+\ldots +\left (1+\frac{1}{n}\right )+1}{n+1}>\sqrt[n+1]{\left (1+\frac{1}{n}\right )^n}$ .
Поясню, почему здесь стоит знак строгого неравенства. Дело в том, что равенство достигается тогда и только тогда, когда все $$n+1$$

чисел равны между собой. Но $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \,\colon 1+\frac{1}{n}\ne 1$ , точнее, $\displaystyle 1+\frac{1}{n}>1$ .
Преобразуем получившееся неравенство: $\displaystyle \frac{\displaystyle n\left (1+\frac{1}{n}\right )+1}{n+1}>\sqrt[n+1]{\left (1+\frac{1}{n}\right )^n}$ ,
$\displaystyle \frac{(n+1)+1}{n+1}>\sqrt[n+1]{\left (1+\frac{1}{n}\right )^n}$ ,
$\displaystyle 1+\frac{1}{n+1}>\sqrt[n+1]{\left (1+\frac{1}{n}\right )^n}$ .
Поскольку обе части неравенства положительны, возводим их в $$(n+1)$$

-ю степень: $\displaystyle \left (1+\frac{1}{n+1}\right )^{n+1}>\left (1+\frac{1}{n}\right )^n$ , что и требовалось доказать.
Всё доказательство не вышло за пределы элементарной школьной алгебры.

TR63 · Сообщение **TR63** » 05 ноя 2016, 06:43

Shadows писал(а):Source of the post предложенные вами методы имеют один небольшой недостаток - в них так или иначе неявно используется второй замечательный предел, для вывода которого надо доказать требуемое неравенство.

Всё-таки не понятно, где в доказательстве неравенства Бернулли используется обязательно(?) второй замечательный предел.
Вот моё доказательство неравенства Бернулли для рациональной степени. Надо доказать неравенство:
$[1+(a-1)]^{\frac p q}\ge\frac{(a-1)p}{q}+1$
$a\ge1$ , $p\ge q\ge1$ натуральные.
Раскроем скобки. Получим
$(a^{\frac1 q})^p\ge\frac{(a-1)p}{q}+1$
$(a^{\frac1 q})^p\ge\frac p q\cdot(a^{\frac 1 q})^q-\frac p q+1$
Переписав новых обозначениях, получим
$f=x^p-tx^q+(t-1)\ge0$
Можно проверить, что многочлен f(x) имеет в области положительных (x) только один кратный корень. Значит неравенство верно и его можно применить к доказательству исходного неравенства в качестве неравенства Бернулли с рациональным показателем.
Если я ошибаюсь, прошу разъяснить, где именно.

yourdomain.com