Доказать неравенство

GEPIDIUM · Сообщение **GEPIDIUM** » 01 ноя 2016, 11:00

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала числовой ряд на сходимость, доказала, что он сходится, а вот для его абсолютной сходимости пришлось доказывать одно промежуточное неравенство. Неравенство такое:
$\displaystyle \forall n\in \mathbb{N} \,\colon \left (1+\frac{1}{n+1}\right )^{n+1}>\left (1+\frac{1}{n}\right )^n$ .
С виду просто, поэтому и поместила в школьную математику. Попробовала с помощью мат.индукции, получаются такие громоздкие выкладки, что сама в них запуталась. Как доказать? Неравенство вроде очевидное.. Присоветуйте, пжлст.

12d3 · Сообщение **12d3** » 01 ноя 2016, 11:33

Распишите по биному Ньютона и посмотрите, как меняется каждое слагаемое при увеличении $$n$$

(ну и следует учесть изменение количества слагаемых при увеличении $$n$$

).
А вообще, замечательные пределы подробно расписываются в учебниках матанализа. В том числе возрастание указанной выше последовательности используется для доказательства второго замечательного предела. Не смотрели?

GEPIDIUM · Сообщение **GEPIDIUM** » 01 ноя 2016, 12:21

12d3, в учебнике доказывается ограниченность этой последовательности, и написано, что последовательность возрастающая, о чём известно из школьного курса алгебры. Вот я и пытаюсь сама вспомнить этот самый школьный курс.
Попробую расписать по биному Ньютона. Только поясните, как именно учесть количество слагаемых при $n\to \infty$ ?

12d3 · Сообщение **12d3** » 01 ноя 2016, 12:37

GEPIDIUM писал(а):Source of the post Только поясните, как именно учесть количество слагаемых при n\to \infty?

Я имею в виду, что в раскрытом биноме для $$n+1$$

на одно слагаемое(положительное) больше, чем в раскрытом биноме для $$n$$

. Если вдруг окажется, что и без последнего слагаемого сумма для $$n+1$$

больше, чем сумма для $$n$$

(а оно так и окажется), то и с последним слагаемым тоже будет больше.

GEPIDIUM писал(а):Source of the post 12d3, в учебнике доказывается ограниченность этой последовательности, и написано, что последовательность возрастающая, о чём известно из школьного курса алгебры.

Значит, стоит открыть другой учебник. Я открыл Фихтенгольца, там есть. И честно говоря, не помню, чтобы такое было в школьном курсе алгебры. Может, это в каком-то очень продвинутом школьном курсе?

zykov · Сообщение **zykov** » 01 ноя 2016, 15:44

Можно наверно просто показать возрастание функции $$(1+1/x)^x$$

через производную.

Shadows · Сообщение **Shadows** » 01 ноя 2016, 16:45

Неравенство Бернулли:
$\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{\frac{n+1}{n}}>1+\frac 1 n$

ARRY · Сообщение **ARRY** » 01 ноя 2016, 18:26

Shadows писал(а):Source of the post Неравенство Бернулли

Как вариант, предлагаю неравенство Коши.

12d3 · Сообщение **12d3** » 01 ноя 2016, 19:00

zykov, Shadows, предложенные вами методы имеют один небольшой недостаток - в них так или иначе неявно используется второй замечательный предел, для вывода которого надо доказать требуемое неравенство.

Shadows · Сообщение **Shadows** » 02 ноя 2016, 06:48

12d3, согласен.

GEPIDIUM · Сообщение **GEPIDIUM** » 02 ноя 2016, 09:58

12d3, вот попробовала раскрыть левую часть неравенства по биному Ньютона. Получается так:
$\displaystyle \left (1+\frac {1}{n+1}\right )^{n+1}=1~+~ \frac {n+1}{1!}\cdot \frac {1}{n+1}~+~\frac {(n+1)\cdot n}{2!}\cdot \frac {1}{(n+1)^2}~+~\frac {(n+1)\cdot n\cdot (n-1)}{3!}\cdot \frac {1}{(n+1)^3}+\ldots +\frac {(n+1)\cdot n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot 2\cdot 1}{(n+1)!}\cdot \frac {1}{(n+1)^{n+1}}=$
$\displaystyle =1~+~1~+~\frac {1}{2!}\cdot \left (1-\frac {1}{n+1}\right )~+~\frac {1}{3!}\cdot \left (1-\frac{1}{n+1}\right )\cdot \left (1-\frac {2}{n+1}\right )+\ldots +\frac {1}{(n+1)!}\cdot \left (1-\frac {1}{n+1}\right )\cdot \left (1-\frac {2}{n+1}\right )\cdot \ldots \cdot \left (1-\frac{n}{n+1}\right )$
И что? Я вижу, что с ростом $$n$$

число слагаемых увеличивается. Но это не повод считать эту последовательность возрастающей. Что-то не соображу, как я могу оценить величину этих слагаемых.

yourdomain.com