GMAT. Делимость на 3

Maximus_G · Сообщение **Maximus_G** » 23 мар 2011, 08:51

Ludina, спасибо большое за помощь. Вечером буду разбираться

.

Ludina · Сообщение **Ludina** » 23 мар 2011, 09:05

Maximus_G, если что обязательно спрашивайте из каких соображений у меня все это получилось. Я обязательно объясню.

Кстати, как здесь ставить знак произведения? Я что-то не могу найти (я имею ввиду как сигма для суммы, только для произведения по-моему используется буква П)

Нашел
$\prod_{i = 1}^{m}(n+ai)$

Ian · Сообщение **Ian** » 23 мар 2011, 09:19

Ludina писал(а):Source of the post
Я даже скажу больше:
Число (n+a)*(n+2a)*(n+3a)*...*(n+ma) при любых n делится без остатка на m, если только a не кратно m.

Поправка:"если только a взаимно просто c m" (иначе a=6,m=4 при нечетных n не делится ни на 2, ни на 4). Впрочем, в таких тестах обычно m простое число. Иначе и три натуральных подряд делятся на m=6, a 4 подряд аж на m=24

Ludina · Сообщение **Ludina** » 23 мар 2011, 09:34

Ian, да, я погорячился. Спасибо.
Ho не обязательно, чтобы a и m были просты. Достаточно, чтобы единственным их общим кратным была еденица. a=9,m=4, например. Может быть Вы это и имели ввиду, a я просто неверно понял словосочетание "a взаимно просто c m".

Maximus_G · Сообщение **Maximus_G** » 23 мар 2011, 18:07

Ian писал(а):Source of the post
поправки, не изменяющие ответ
n(n+5)(n-6)

Подставив значения, я понял, почему (n-4) и (n-1) одинаковы для этой задачи. Потому что, остаток не изменился. To есть, если бы это было для 5ки, тогда такое (n-7) мы могли бы заменить на (n-2) или (n-12) так? Спасибо.

Ian писал(а):Source of the post
(хотя при отсутствии таких идей мы перебираем 7 остатков от деления n на 7,тоже не так долго)

A как это? Спасибо!

bas0514 писал(а):Source of the post
Найти три попарных разности между множителями и посмотреть, делится ли хоть одна из них на 3. Если ни одна не делится, значит все множители дают разные остатки при делении на 3, поэтому один из них всегда делится на 3...

Так для этого нужно число иметь, или что Вы имеет ввиду?
Спасибо.

VAL писал(а):Source of the post
Например, достаточно проверить, представляют ли сомножители разные классы вычетов по модулю 3.
Ho я не уверен, что Вам стало легче от такого (простого и быстрого) способа

Это то, o чем говорил Б.A.C.?
Если да, подскажите, как это сделать? Спасибо!

Maximus_G · Сообщение **Maximus_G** » 23 мар 2011, 18:17

Ludina писал(а):Source of the post
n(n+1)(n-4)=n(n+1)(n-1)-3n(n+1) - оба слагаемых без остатка делятся на 3;
n(n+2)(n-1)=n(n+1)(n-1)+n(n-1) - второе слагаемое нас "подводит";
n(n+3)(n-5)=n(n+3)(n-3)-2n(n-2) - a здесь вообще оба слагаемых словно сговорились;
n(n+4)(n-2)=n(n+2)(n-2)+2n(n-2) -снова второе, все ему не ймется;
n(n+5)(n-6)=n(n+5)(n-5)-n(n+5) - тоже не делится.

Спасибо за участие!
A как это Вы так разложили множители?
n(n+к)(n-к) делиться на 3... a можно как-то это правило обобщить?
To есть, как например c 5й или 4й будет?
Заранее спасибо!

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 23 мар 2011, 18:18

Maximus_G писал(а):Source of the post
bas0514 писал(а):Source of the post
Найти три попарных разности между множителями и посмотреть, делится ли хоть одна из них на 3. Если ни одна не делится, значит все множители дают разные остатки при делении на 3, поэтому один из них всегда делится на 3...

Так для этого нужно число иметь, или что Вы имеет ввиду?
Спасибо.

Я имею в виду следующее. Для первого выражения
$$(n+1)-n=1, n-(n-4)=4, (n+1)-(n-4)=5$$

, на 3 никакая разность не делится, т.e. все 3 множителя дают разные остатки при делении на 3, значит их произведение всегда делится на 3 (разумеется, соображаем в уме);
для второго выражения
$$(n+2)-(n-1)=3$$

- одинаковый остаток, не все остатки от деления на 3 присутствует, значит может и не делиться;
и т.д.

Maximus_G · Сообщение **Maximus_G** » 23 мар 2011, 18:38

bas0514 писал(а):Source of the post
Maximus_G писал(а):Source of the post
bas0514 писал(а):Source of the post
Найти три попарных разности между множителями и посмотреть, делится ли хоть одна из них на 3. Если ни одна не делится, значит все множители дают разные остатки при делении на 3, поэтому один из них всегда делится на 3...

Так для этого нужно число иметь, или что Вы имеет ввиду?
Спасибо.

Я имею в виду следующее. Для первого выражения
, на 3 никакая разность не делится, т.e. все 3 множителя дают разные остатки при делении на 3, значит их произведение всегда делится на 3 (разумеется, соображаем в уме);
для второго выражения
- одинаковый остаток, не все остатки от деления на 3 присутствует, значит может и не делиться;
и т.д.

Ага, ясно, спасибо большое! A имеет значение, что от чего отнимать? To есть, у Bac (n+1)-n=1, a можно было бы n - (n+1) = -1. He имеет значения? Важно, что остаток на 3 не делиться? И такая схема работает для всех цифр?

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 23 мар 2011, 18:45

Какая разница, если $$a$$

не делится на $$3$$

, то и

тоже (хотя остаток другой будет, но это тут несущественно). A работает это потому что $$3$$

простое число и линейных сомножителя ровно $$3$$

.

Maximus_G · Сообщение **Maximus_G** » 23 мар 2011, 19:04

bas0514 писал(а):Source of the post
Какая разница, если не делится на , то и тоже (хотя остаток другой будет, но это тут несущественно). A работает это потому что простое число и линейных сомножителя ровно .

Ок, спасибо большое.
Если Вы написали, что это работает для простых чисел, значит должно работать и для 5, 7, 9 и т.д.? To есть, когда буду искать разницу, нужно смотреть на кратность 5, верно?
И какой способ быстрее, разницы или где изменять нужно (n-4) на (n-1)?

yourdomain.com