Для определенности будем считать, что высота опущена из угла противоположного основанию а.
Рассмотрим случай, когда один из углов, прилежащий к основанию, тупой. В этом случае вписать прямоугольник в треугольник нельзя, так как одна из вершин прямоугольника обязательно не лежит на стороне треугольника.
В случае, если углы оба угла при основании острые или один из них прямой, то прямоугольник вписать можно. В этом случае, через подобие треугольников легко выразить длину периметра прямоугольника, которая является линейной возрастающей функцией:
Максимум Р достигается при x =a и равен 2а при а не меньше h. Если а<h, то максимум периметра равен 2h. В обоих случаях треугольники вырожденные.