Теория вероятности

Таланов

nikita1 писал(а):Source of the post
вот нарисовал , в файле
как же определить вероятность попадания в настоящую мишень?

Отношение общей (совместной) площади двух кругов к площади круга. При условии конечно равномерного распределения точек попадания внутри мишени.

Самоед

nikita1 писал(а):Source of the post
Математическое ожидание отклонения от центра мишени при стрельбе по ней составляет 6 см. Оценить вероятность того, что при стрельбе по круговой мишени радиусом 15 см произойдет попадание в мишень.
Решение: Возможно задача на геометрическую вероятность и искомая вероятность равна 6/15=0,288
Подскажите?

Вероятность попасть в круг радиусом 15 см (большая мишень) значительно больше вероятности попасть в круг радиусом 6 см (маленькая мишень), при равных прочих условиях.
Два варианта:
1) Какова вероятность попадания в круг радиусом 6см? При нормальном распределении вероятность отклонения 6 см равна Р(менее "сигма")=2* Ф(1)=0,68. Отношение максимального отклонения к среднеквадратическому (сигме)=15/6=2,5
Р(Х меньше 2,5) = 2*Ф(2,5) = 2*0,48 = 0,96 (приблизительно, сами гляньте в таблицу Лапласа).
То есть Р(попадания в круг радиусом 15 см) = 0,96.
2) Если 6м - "круговое вероятноге отклонение", то $$k=(15/6)^2=2,5^2=6,25$$

Р(Х меньше 15) = $$1 - 0,5^k = 1-0,013 = 0,987$$

.
То есть Р(попадания в круг радиусом 15 см) = 0,987.
===========
"круговое вероятное отклонение" (вероятное отклонение) = радиус круга, вероятность попадания в который равна 0,5. То есть вероятность попасть в круг радиусом 6 см равна 0,5. Вероятность попасть в круг радиусом 15 см значительно выше, как видим.

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 06 сен 2011, 07:13

AV_77 писал(а):Source of the post
Для начала нарисуйте мишень, лучше в масштабе. Теперь выясняем что означает фраза про мат. ожидание - стреляют с постоянным смещением (надо полагать, что по одной оси). Вот и рисуйте вторую "мишень", у которой центр сдвинут на 6 см (это куда попадают). Ну и осталось выяснить, когда мы попадем в настоящую мишень.

Возможно решение и такое, но тогда условие задачи должно быть другим. Возьму на себя функции Самоеда, тем более, что он не выполняет в данном случае свои функции, а надо бы!
Стрелок стреляет по мишени с радиусом 15 см. и попадает с вероятностью 1 (т.е это достоверное событие). При этом вероятность попадания в любую точку мишени одинакова. Повторно стрелок стреляет при тех же условиях, но со смещенным прицелом. При этом математическое ожидание отклонения попаданий от центра мишени составляет 6 см. Какова вероятность попадания в мишень при повторном выстреле?

myn · Сообщение **myn** » 06 сен 2011, 10:53

честно говоря, не вижу среди написанного ни одной здравой мысли.. все попридумывали какие-то свои условия, какие-то свои маленькие мишени, да ещё и со смещенным прицелом

, свои законы распределения повводили...

а менее всего здравых мыслей вижу в условии задачи.. Автор, откуда она? и все ли верно записано? может, она шла в теме на какой-то закон распределения и это забыли указать в условии?

nikita1 писал(а):Source of the post
Математическое ожидание отклонения от центра мишени при стрельбе по ней составляет 6 см. Оценить вероятность того, что при стрельбе по круговой мишени радиусом 15 см произойдет попадание в мишень.

По идее, задачи такого плана обязательно должны содержать условие закона распределения попадания точек (выстрелов) в заданный круг (мишень).
Пусть Х - расcтояние от центра мишени до точки попадания - это и есть отклонение от центра мишени при выстреле.
Почему это обозвали смещением да ещё и по одной оси - непонятно. Мы стреляем, х=0 (попадание в яблочко) - практически невозможное событие. При этом точки попадания обычно разбросаны по всем направлениям - влево, вправо, вверх, вниз.. Разве вы стреляете строго со смещением в одну сторону? Интересует всех обычно - на сколько далеко мы отклонились от центра мишени - не зря же на них обычно рисуют концентрические окружности...
Х, таким образом, есть непрерывная случайная величина, которая принимает любые значения от 0 до радиуса мишени R.
Если предполагаем закон распределения точек равномерный, то да, надо пользоваться геометрической вероятностью и с её помощью построить функцию распределения:
$\displaystyle F(x)=P(X<x)=\frac {\pi x^2} {\pi R^2}=\frac {x^2} {R^2}$
плотность
$\displaystyle f(x)=\frac {2x} {R^2}$
и легко выразить математическое ожидание случайной величины Х - отклонения от центра мишени:

$\displaystyle M(X)=\int_{0}^{R}{x f(x)dx}=\frac {2R} {3}$

Тогда из условия получается, что мишень должна иметь радиус 9 см, чтобы было такое мат. ожидание отклонения точки попадания от её центра... при нашем допущении о равномерности...

А в условии совсем другое...

И что означает фраза "найти вероятность, что произойдет попадание в мишень" вообще непонятно - т.е. подразумевается, что может и не произойти попадание в мишень? т.е. х меняется от 0 до бесконечности? Тогда равномерно это не может быть.. а по какому закону тогда? непонятно... Условие, на мой взгляд, не корректно..
или я что-то не так поняла..

Mitry · Сообщение **Mitry** » 06 сен 2011, 11:21

nikita1 писал(а):Source of the post
Математическое ожидание отклонения от центра мишени при стрельбе по ней составляет 6 см. Оценить вероятность того, что при стрельбе по круговой мишени радиусом 15 см произойдет попадание в мишень.

В данной формулировке задача неразрешима, поскольку неизвестен закон распределения отклонения от центра мишени. Одного только математического ожидания недостаточно

Самоед

Mitry писал(а):Source of the post
nikita1 писал(а):Source of the post
Математическое ожидание отклонения от центра мишени при стрельбе по ней составляет 6 см. Оценить вероятность того, что при стрельбе по круговой мишени радиусом 15 см произойдет попадание в мишень.

В данной формулировке задача неразрешима, поскольку неизвестен закон распределения отклонения от центра мишени. Одного только математического ожидания недостаточно

Согласен с данным утверждением. Закон распределения должен быть задан в условии задачи.
Единственная зацепка в обсуждаемой задаче - "оценить вероятность", то есть допускается приблизительный (оценочный) ответ, основанный на произвольно взятом распределении.

Mitry · Сообщение **Mitry** » 06 сен 2011, 20:00

Самоед писал(а):Source of the post
Закон распределения должен быть задан в условии задачи.
Единственная зацепка в обсуждаемой задаче - "оценить вероятность", то есть допускается приблизительный (оценочный) ответ, основанный на произвольно взятом распределении.

Но это уже приходится додумывать условия.
Например, можно так:
Начало координат находится в центре мишени. Пуля попадает в точку с координатами (x,y), где x и y - независимые случайные величины с нормальным законом распределения, нулевым математическим ожиданием и одинаковыми дисперсиями. Тогда расстояние от центра мишени до точки попадания пули будет
$r=\sqrt{x^2+y^2}$ .
r - неотрицательная случайная величина с известным математическим ожиданием М.
Найти вероятность попадания, если радиус мишени известен.

Таланов

Mitry писал(а):Source of the post
Тогда расстояние от центра мишени до точки попадания пули будет
$r=\sqrt{x^2+y^2}$ .
r - неотрицательная случайная величина с известным математическим ожиданием М.

Тогда можно будет найти дисперсию для $$x$$

и

.
Сразу сбила с толку установка на геометрическое определение вероятности.

Таланов

Можно не рассматривать далее двухмерную функцию нормального распределения с известной уже дисперсией, а задачу решать используя распределение Релея. Параметр распределения находим из известного матожидания $a=M\sqrt{\frac{2}{\pi}}$ . Тогда вероятность попадания в круг радиуса $$r$$

равна: $1-e^{\frac{-r^2}{2a^2}}$ .

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 10 сен 2011, 12:50

myn писал(а):Source of the post
И что означает фраза "найти вероятность, что произойдет попадание в мишень" вообще непонятно - т.е. подразумевается, что может и не произойти попадание в мишень? т.е. х меняется от 0 до бесконечности? Тогда равномерно это не может быть.. а по какому закону тогда? непонятно... Условие, на мой взгляд, не корректно..
или я что-то не так поняла..

Да, условие не корректно. Нет закона распределения со значением дисперсии или среднеквадратичного отклонения.

yourdomain.com