Беспроигрышная лотерея

Таланов

Тогда подвох в этом:

vicvolf писал(а):Source of the post
Стратегия незнакомца-он знает, что в другой урне чек на меньшую сумму, поэтому предлагает поменять. Стратегия выбирающего-так как предлагают поменять, то это не выгодно, поэтому лучше оставить!

Evilution · Сообщение **Evilution** » 17 авг 2011, 18:13

Ian писал(а):Source of the post
Вопрос о правильной стратегии можно ставить, когда игра повторяется много раз при фиксированных на долгое время стратегиях надписывающего чеки и Вашей. Тогда отпадает вопрос, знают ли игроки стратегии друг друга: первый миллион испытаний можно потратить на то, чтобы вычислить стратегию противника, а дальше садиться вычислять свой оптимум. Конечно и противник будет делать то же самое. В итоге имеет смысл только вопрос: стратегии обоих неизменны и известны противнику, найти равновесие по Нэшу, т.е. и первому, и второму невыгодно менять свою стратегию, даже зная, что другой не сменит свою.
Покажем, что в данной задаче такого равновесия нет. Пусть вы знаете, что на чеках бывают всякие суммы с целым числом центов, тогда увидев нечетное число центов, будете менять и выиграете. Увидев такую Вашу стратегию, противник не будет никогда ни на одном чеке писать нечетное число центов, тогда Вы еще улучшите свою стратегию: при числе не делящемся на 4 меняете и выигрываете, и тд.
То что по этому поводу в Вики - неправильное использование плотности непрерывного распределения, сравнивать надо $\frac 12 p(\frac x2)\frac {dx}2$ и , причем ответ из англоязычных результатов я помню, а источник забыл. Если интересно, попробую воспроизвести уточненную постановку непрерывной игровой задачи и равновесные по Нэшу стратегии обоих игроков.

Ian, если рассматривать в контексте теории игр, то ведь тут не трудно выписать дерево игры. А там сразу видно, что ответ Виктора В. из второго поста - единственно правильный. Зачем мудрить с бесконечными решениями?

Ian · Сообщение **Ian** » 17 авг 2011, 19:33

Evilution писал(а):Source of the post Зачем мудрить?

надо спрашивать их Why split hairs.

Ну и где вы тут видите конечное дерево?

Evilution · Сообщение **Evilution** » 17 авг 2011, 20:34

Ian писал(а):Source of the post
Ну и где вы тут видите конечное дерево?

Ведущий знает, какой чек попался Таланову. Если попался $$x$$

, то он всегда выберет "Не предлагать обменять", а если $$2x$$

, то предложит поменять чек.

MrDindows · Сообщение **MrDindows** » 17 авг 2011, 20:49

Evilution писал(а):Source of the post
Ian писал(а):Source of the post
Ну и где вы тут видите конечное дерево?

Ведущий знает, какой чек попался Таланову. Если попался , то он всегда выберет "Не предлагать обменять", а если , то предложит поменять чек.

А вы можете объяснить тогда, почему ведущий предложил поиграть в беспроигрышную лотерею?
То есть, вот у него есть выбор: 1) Не предлагать играть в лотерею. Тогда он ничего не теряет.
2) Предложить поиграть. Тогда он потеряет либо 1к, либо 2к.
Он выбрал второй вариант, заранее не выгодный. Почему же тогда в вашем случае он не предложит поменять на 2х?)

Ian · Сообщение **Ian** » 17 авг 2011, 22:40

Это задача прикладная, и даже одна и та же ситуация может быть смоделирована по-разному. Нарисованная модель, ответ Виктора В и трактовка Таланова - все это имеет право быть. Но мне это не нравится, потому что игра выходит какая-то несерьезная, типа семейки Flintstone. А вот такая примерно ситуация: А пишет на чеках два положительных числа ,одно больше другого вдвое,при делении нечетного пополам применяет округление вверх или вниз равновероятно. В читает первый чек и если захочет, выбирает другой. В оплачивает А его чек , а А оплачивает В другой чек. Стратегия А - распределение вероятностей на множестве всех целых (в центах) положительных сумм S, А их пишет на меньшем чеке, а на большем пишет 2S (50%), 2S+1 (25%), 2S-1(25%). В знает распределение, но не знает результат конкретного испытания. Прочитанный мной результат (в реферируемом журнале) состоит в том, что подбором распределения А может свести свой средний проигрыш к нулю (однако условие я воспроизвел по памяти)
Ответ: n центов пишется с вероятностью $\frac C{n\sqrt n}$ , $$C$$

нормирующий коэффициент. В общем 1000 долларов попадется в 1000 раз реже чем 10 долларов. Тогда матожидание выигрыша В равно 0
Там был какой-то непрерывный аналог, но функция $p(x)=\frac C{x\sqrt x}$ неинтегрируема в 0, не могу сообразить как иначе это обойти...

Таланов

Пусть в одном конверте чек на х, в другом на 2х. С вероятностью 1/2 можно вытянуть любой.

Стратегия НЕ МЕНЯТЬ!
1. вытянул х, остался с х
2. вытянул 2х, остался с 2х
Матожидание 1,5х.

Стратегия МЕНЯТЬ!
1. вытянул 2х, остался с х
2. вытянул х, остался с 2х
Матожидание 1,5х.

А если не видно разницы в выигрыше, то не всё-ли равно?

Evilution · Сообщение **Evilution** » 18 авг 2011, 07:18

Таланов писал(а):Source of the post
А если не видно разницы в выигрыше, то не всё-ли равно?

Ну так, дело в том, всегда ли ведущий предлагает поменять чек, или же он действует из соображений собственной выгоды. Если всегда предлагает, то его можно выбросить из дерева, так как он решения не принимает.

В случае, если он решения не принимает, то да, все равно (при линейной функции полезности).

В случае, если принимает решение, имеет место теория игр, которая и обсуждается.

Evilution · Сообщение **Evilution** » 18 авг 2011, 07:34

MrDindows писал(а):Source of the post
А вы можете объяснить тогда, почему ведущий предложил поиграть в беспроигрышную лотерею?
То есть, вот у него есть выбор: 1) Не предлагать играть в лотерею. Тогда он ничего не теряет.
2) Предложить поиграть. Тогда он потеряет либо 1к, либо 2к.

У него нет выбора, потому что он уже предложил (см. первый пост).

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 18 авг 2011, 07:45

Evilution писал(а):Source of the post
В случае, если он решения не принимает, то да, все равно (при линейной функции полезности).

В случае, если принимает решение, имеет место теория игр, которая и обсуждается.

В случае, если ведущий принимает решение тоже надо обсуждать. Либо он принимает решение из выгоды для себя, тогда -пост 2.
Если он принимает решения для выгоды играющего, то конечно надо соглашаться на его предложение.

yourdomain.com