Ничего особенного в этой задаче нет - нужна только внимательность. Сначала снимаем мишуру (нахрена её столько навесили?):
Подкоренное выражение определено и
больше 1 при всех
![$$x\in [-1-3a, -3a) \cup (-3a, 1-3a]$$ $$x\in [-1-3a, -3a) \cup (-3a, 1-3a]$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%5Cin%20%5B-1-3a%2C%20-3a%29%20%5Ccup%20%28-3a%2C%201-3a%5D%24%24)
., поэтому основание логарифма тоже больше 1:
![$$ ax^2 + 2a^2x + 1 >1 $$ $$ ax^2 + 2a^2x + 1 >1 $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20ax%5E2%20%2B%202a%5E2x%20%2B%201%20%3E1%20%24%24)
. Ясно, что при
![$$ a=0 $$ $$ a=0 $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20a%3D0%20%24%24)
решений нет. Остаётся разобраться c двумя случаями (можно выключенную точку
![$$-3a$$ $$-3a$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24-3a%24%24)
включить в рассмотрение - она только путается и никак не влияет на ответ, если про неё забыть, ну да ладно - пусть путается):
1)
![$$ \{ a > 0 \\ x\in [-1-3a, -3a) \cup (-3a, 1-3a] \\ x\in (-\infty , -2a) \cup (0 , + \infty )$$ $$ \{ a > 0 \\ x\in [-1-3a, -3a) \cup (-3a, 1-3a] \\ x\in (-\infty , -2a) \cup (0 , + \infty )$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5C%7B%20a%20%3E%200%20%5C%5C%20x%5Cin%20%5B-1-3a%2C%20-3a%29%20%5Ccup%20%28-3a%2C%201-3a%5D%20%5C%5C%20x%5Cin%20%28-%5Cinfty%20%2C%20-2a%29%20%5Ccup%20%280%20%2C%20%2B%20%5Cinfty%20%29%24%24)
Положительных решений этой систему может и не быть, но отрицательные есть при любом a>0. Чтобы отрицательная часть этих решений не пересекалась c отрезком
![$$[-5, 6]$$ $$[-5, 6]$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5B-5%2C%206%5D%24%24)
требуется выполнение неравенства
![$$-2a \le -5$$ $$-2a \le -5$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24-2a%20%5Cle%20-5%24%24)
либо
![$$1-3a < -5$$ $$1-3a < -5$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%241-3a%20%3C%20-5%24%24)
, в зависимости от того что меньше
![$$-2a \vee 1-3a$$ $$-2a \vee 1-3a$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24-2a%20%5Cvee%201-3a%24%24)
. Побеждает первое, откуда
![$$a > 2$$ $$a > 2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24a%20%3E%202%24%24)
. При этом положительная часть решений пуста.
2)
![$$ \{ a < 0 \\ x\in [-1-3a, -3a) \cup (-3a, 1-3a] \\ x\in (0, -2a ) $$ $$ \{ a < 0 \\ x\in [-1-3a, -3a) \cup (-3a, 1-3a] \\ x\in (0, -2a ) $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5C%7B%20a%20%3C%200%20%5C%5C%20x%5Cin%20%5B-1-3a%2C%20-3a%29%20%5Ccup%20%28-3a%2C%201-3a%5D%20%5C%5C%20x%5Cin%20%280%2C%20-2a%20%29%20%24%24)
.
Отрицательная часть решений системы пуста - опять рассматриваем неравенства
![$$ -1-3a > 6 $$ $$ -1-3a > 6 $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20-1-3a%20%3E%206%20%24%24)
и
![$$ -1 - 3a \ge - 2a $$ $$ -1 - 3a \ge - 2a $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20-1%20-%203a%20%5Cge%20%20-%202a%20%24%24)
. Побеждает второе, откуда
![$$ a \le -1 $$ $$ a \le -1 $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20a%20%5Cle%20-1%20%24%24)
.
Ответ:
![$$ a \in ( - \infty ; -1] \cup \{ 0 \} \cup ( 2 ; + \infty ) $$ $$ a \in ( - \infty ; -1] \cup \{ 0 \} \cup ( 2 ; + \infty ) $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20a%20%5Cin%20%28%20-%20%5Cinfty%20%3B%20-1%5D%20%5Ccup%20%5C%7B%200%20%5C%7D%20%5Ccup%20%28%202%20%3B%20%2B%20%5Cinfty%20%29%20%24%24)
P.S. Поди из ЕГЭ эта халтурка?