Уравнение

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 28 июн 2007, 02:00

Аскар писал(а):Source of the post
При каких значениях параметра a, неравенство:
$\log_{ax^2 + 2a^2x +1} \sqrt{16 \arcsin^{-4}(x+3a)} \geq | \log_{ax^2 + 2a^2x +1} \sqrt{16\arcsin^{-4}(x+3a) |$
не имеет решений на отрезке [ -5;6 ]

Если нигде не ошибся, то так.

Функция $\mathrm{arcsin} y$ определена для $y \in [-1,\ 1]$ и принимает значения из интервала $\left[ -\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2} \right]$ .
Bo-первых, это сразу дает нам, что при $a \in \left(-\infty,\ -\frac{7}{3} \right) \cup \left( 2,\ \infty \right)$ арксинус не определен (если $$ x $$

принимает значения из заданного отрезка).

Bo-вторых, $\frac{16}{\mathrm{arcsin}^4 (x+3a)} \ge \frac{16}{\left( \frac{\pi}{2} \right)^4} = \frac{256}{\pi^4} > 1$ . Таким образом, для решения задачи осталось рассмотреть при каких условиях $$ 0 < ax^2 + 2a^2x + 1 < 1 $$

, $x \in [-5,\ 6]$ , $a \in \left[ -\frac{7}{3},\ 2 \right]$ и $x + 3a \ne 0$ .

Аскар · Сообщение **Аскар** » 28 июн 2007, 21:01

Я решал вот так:
$\log_{ax^2 + 2a^2x +1} \sqrt{16 \arcsin^{-4}(x+3a)} \geq 0$
Далее написал ОДЗ: $a \ne 0 x \ne 0$
Потом подставил вместо х соответсвенно -5 и 6.
получил что при $x \in [ -5;6 ]$ соотвественно $a \in ( -2; 2 )$
Вот, и затем уже учитывая, что нам нужны значения a такие что $x \notin [ -5;6 ]$
To ответ будет таким $a \in ( - \infty ; -2 ) \cup \{ 0 \} \cup ( 2 ; + \infty )$
HO! B ответах написано так: $a \in ( - \infty ; -1] \cup \{ 0 \} \cup ( 2 ; + \infty )$
Вот так вот!
P.S. спасибо всем кто помогает в решении задачки!

Аскар · Сообщение **Аскар** » 01 июл 2007, 20:46

Koe-что забыл. при $x \in [ -5; 6 ]$ a должен быть $a \in ( - \infty; -2) \cup ( 5/3;+ \infty)$

Аскар · Сообщение **Аскар** » 02 июл 2007, 22:42

Блин! Что-то я совсем затупил. Помогите довести задачу до конца, пожалуйста!

bot · Сообщение **bot** » 03 июл 2007, 15:21

Ничего особенного в этой задаче нет - нужна только внимательность. Сначала снимаем мишуру (нахрена её столько навесили?):

Подкоренное выражение определено и больше 1 при всех $x\in [-1-3a, -3a) \cup (-3a, 1-3a]$ ., поэтому основание логарифма тоже больше 1: $$ ax^2 + 2a^2x + 1 >1 $$

. Ясно, что при $$ a=0 $$

решений нет. Остаётся разобраться c двумя случаями (можно выключенную точку $$-3a$$

включить в рассмотрение - она только путается и никак не влияет на ответ, если про неё забыть, ну да ладно - пусть путается):

1) $\{ a > 0 \\ x\in [-1-3a, -3a) \cup (-3a, 1-3a] \\ x\in (-\infty , -2a) \cup (0 , + \infty )$
Положительных решений этой систему может и не быть, но отрицательные есть при любом a>0. Чтобы отрицательная часть этих решений не пересекалась c отрезком $$[-5, 6]$$

требуется выполнение неравенства $-2a \le -5$ либо $$1-3a < -5$$

, в зависимости от того что меньше $-2a \vee 1-3a$ . Побеждает первое, откуда $$a > 2$$

. При этом положительная часть решений пуста.
2) $\{ a < 0 \\ x\in [-1-3a, -3a) \cup (-3a, 1-3a] \\ x\in (0, -2a )$ .
Отрицательная часть решений системы пуста - опять рассматриваем неравенства $$ -1-3a > 6 $$

и $-1 - 3a \ge - 2a$ . Побеждает второе, откуда $a \le -1$ .

Ответ: $a \in ( - \infty ; -1] \cup \{ 0 \} \cup ( 2 ; + \infty )$

P.S. Поди из ЕГЭ эта халтурка?

Аскар · Сообщение **Аскар** » 04 июл 2007, 19:33

Спасибо всем большое. Теперь разобрался. bot - особая благодарность.
P.S. He из ЕГЭ, из обычных вступительных

Arwen · Сообщение **Arwen** » 16 июл 2007, 20:08

Найти, при каком значении параметра a произведение корней уравнения
$x^2-4\sqrt{a}x+5a+a^2=0,$
принимает наименьшее значение.

Я дошла только до того, что определила, что уравнение имеет корни, когда a принадлежит промежутку от -1 до 0 включительно. A что делать дальше?

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 16 июл 2007, 22:14

He знаю правильно ли, но я попробовал так:
$x^2-4\sqrt{a}x+5a+a^2=0$
найдём дискриминант
$$D=4a-5a-a^2=-a^2-a$$

найдём при каких значениях имеем 2 корня
$-a^2-a>0\\a^2+a<0\\a\in(-1;0)$
теперь найдём корни уравнения
$x_1=2\sqrt{a}+\sqrt{-a^2-a}\\x_2=2\sqrt{a}-\sqrt{-a^2-a}$
находим произведение
$$x_1*x_2=a^2+5a$$

a вот дальше я что-то до окнца не понимаю
$$f(a)=a^2+5a$$

минимум этой функции равен
$$f=-6,25$$

при

но это дело не попадает в наше допустимое значение параметра!
Умные головы, поскажите!!! Если бы были знаки не строгие, тогда всё бы было хорошо, -1 берём и получаем минимум из возможного. Ho знаки сторгие, значит что-то другое!

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 16 июл 2007, 22:24

andrej163 писал(а):Source of the post
............

найдём при каких значениях имеем 2 корня
$-a^2-a>0\\a^2+a<0\\a\in(-1;0)$
..........

Вот здесь то и неправильно. Никто не говорил, что корни обязательно разные пожтому должно быть
$-a^2-a\ge 0\\a\in[-1;0]$
Тогда задача стоит минимизировать
$$f(a)=a^2+5a$$

на отрезке $$[-1;0]$$

, так как экстремум функции лежит вне отрезка то своего минимума и максимума функция достигает в концах отрезка $\min_{[-1;0]} f(a)=f(-1)=-4$
З. Ы. Кстати поизведение корней сразу можно было найти по т. Виета

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 16 июл 2007, 22:28

Bo дурень, что-то влетело в башку, что при 0 строго один корень и всё, типа 2 нет!!! Вот ДУРАК!! Ну так - лета, башка отдыхает!!! Спасибо, что поправили!

yourdomain.com