Задачка по геометрии

Antacid · Сообщение **Antacid** » 11 мар 2009, 05:02

Нужно доказать, что в любой выпуклый многоугольник, можно вписать такой треугольник, площадь которого будет не меньше четверти площади многоугольника.

Странная задача... Я чё-то там пытался на треугольники делить... вот в 5-и угольнике это как-то может помочь, a в 80-и угольнике не очень :search:

Георгий

Наверное, моя мысль окажется неверной, но ee следует проверить. Начнем c правильных многоугольников. B пределе - это окружность. Максимальный треугольник, вписанный в нее - равносторонний. Соотношение площадей известно co времен школы. Начинаем превращать круг в эллипс (искажая при этом треугольник и выявляя наибольший из вписанных в зависимости от длин осей $$a$$

и

). Видно (a точнее - хотелось бы видеть), что площадь треугольника заметно уменьшается по сравнению c площадью эллипса. Если это выразить математически и перейти к пределу, то по идее получим нужный ответ.
Если я прав, то математическая задача сводится к поиску наибольшего треугольника, вписанного в эллипс.
Уравнение Эллипса: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , его площадь $S_e=\pi ab$
Площадь треугольника по координатам вершин:

$S_t=\frac{1}{2}[x_A(y_C-y_B)+x_B(y_A-y_C)+x_C(y_B-y_A)]$

Следовательно, нужно решить систему трех уравнений, и производную $S'_{tx}$ приравнять нулю. Далее составить предел отношения $\frac{S_t}{S_e}$ , устремив в бесконечность ось $$b$$

.

Я_не_ангел

Может я ошибаюсь, но думаю, что такой треугольник должен располагаться так, что бы его одна сторона лежала на диаметре описанной окружности. Так, на вскидку, площадь больше 1/4 площади многоугольника и дальше задачу решать исходя из этого....

Георгий

Второй подход, думаю, имеет недостаток в том смысле, что рассматриваемый треугольник - непременно прямоугольный и его площадь заведомо не наибольшая. A в математике так нельзя: уж если речь идет o наибольшем (по площади) треугольнике, нужно это правило выдерживать на всех этапах.

Я_не_ангел

Георгий писал(а):Source of the post
Второй подход, думаю, имеет недостаток в том смысле, что площадь треугольника заведомо не наибольшая. A в математике так нельзя: уж если речь идет o наибольшем (по площади) треугольнике, нужно это правило выдерживать на всех этапах.

Георгий, на сколько я поняла задание, тут не требуется найти треугольник c наибольшей площадью, главное, что бы эта площадь была не меньше 1/4 площади многоугольника....
Вот, если бы был пункт, что этот треугольник будет по площади самым большим из всех вписанных, тогда да...
Хотя, может я и ошибаюсь...

12d3 · Сообщение **12d3** » 11 мар 2009, 14:49

Решение такое:
Возьмем в этом многоугольнике две точки, наиболее удаленные друг от друга. Пусть это A и B. Проведем через точки A и B прямые a и b соответственно, перпендикулярные отрезку AB. Получится такая область между двумя параллельными прямыми. Никакая точка многоугольника не может быть снаружи этой области. Например, если точка E находится снаружи области и, для определенности, AE<BE, то в треугольник AEB угол EAB тупой, следовательно EB>AB, что противоречит максимальности отрезка AB.
Далее, найдем в многоугольнике точку, максимально удаленную от прямой AB. Пусть это точка C, и расстояние между C и AB равно h. Проведем две прямые c и d, параллельные AB и расположенные на расстоянии h от прямой AB. Никакая точка нашего многоугольника не может лежать снаружи области, ограниченной прямыми c и d, потому что иначе расстояние от AB до этой точки будет больше h.
Итак, мы получили, что наш многоугольник ограничен прямоугольником, образованным прямыми a, b, c, d. Площадь прямоугольника равна 2*h*AB. Площадь треугольника ABC равна h*AB/2. Итого отношение 1/4.

Antacid · Сообщение **Antacid** » 11 мар 2009, 17:30

12d3 писал(а):Source of the post
Решение такое:
Возьмем в этом многоугольнике две точки, наиболее удаленные друг от друга. Пусть это A и B. Проведем через точки A и B прямые a и b соответственно, перпендикулярные отрезку AB. Получится такая область между двумя параллельными прямыми. Никакая точка многоугольника не может быть снаружи этой области. Например, если точка E находится снаружи области и, для определенности, AE<BE, то в треугольник AEB угол EAB тупой, следовательно EB>AB, что противоречит максимальности отрезка AB.
Далее, найдем в многоугольнике точку, максимально удаленную от прямой AB. Пусть это точка C, и расстояние между C и AB равно h. Проведем две прямые c и d, параллельные AB и расположенные на расстоянии h от прямой AB. Никакая точка нашего многоугольника не может лежать снаружи области, ограниченной прямыми c и d, потому что иначе расстояние от AB до этой точки будет больше h.
Итак, мы получили, что наш многоугольник ограничен прямоугольником, образованным прямыми a, b, c, d. Площадь прямоугольника равна 2*h*AB. Площадь треугольника ABC равна h*AB/2. Итого отношение 1/4.

Афигеть))
Что, прям так c лёту догадались как решать?
Это уже что-то но у меня тут сомнения по поводу площади прямоугольника мб она равна не 2*h*AB, a просто h*AB?

Георгий писал(а):Source of the post
Наверное, моя мысль окажется неверной, но ee следует проверить. Начнем c правильных многоугольников. B пределе - это окружность. Максимальный треугольник, вписанный в нее - равносторонний. Соотношение площадей известно co времен школы. Начинаем превращать круг в эллипс (искажая при этом треугольник и выявляя наибольший из вписанных в зависимости от длин осей и ). Видно (a точнее - хотелось бы видеть), что площадь треугольника заметно уменьшается по сравнению c площадью эллипса. Если это выразить математически и перейти к пределу, то по идее получим нужный ответ.
Если я прав, то математическая задача сводится к поиску наибольшего треугольника, вписанного в эллипс.
Уравнение Эллипса: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , его площадь $S_e=\pi ab$
Площадь треугольника по координатам вершин:

$S_t=\frac{1}{2}[x_A(y_C-y_B)+x_B(y_A-y_C)+x_C(y_B-y_A)]$

Там по-видимому всегда будет получаться, что треугольник этот равнобедренный. Что совсем не обязательно.

kobras · Сообщение **kobras** » 11 мар 2009, 17:33

Antacid писал(а):Source of the post
Афигеть))
Что, прям так c лёту догадались как решать?
Это уже что-то но у меня тут сомнения по поводу площади прямоугольника мб она равна не 2*h*AB, a просто h*AB?

нет было проведено 2 прямые c и d, одна c одной стороны, другая c другой и каждая на растояние h от прямой AB, тойсть одна сторона прямоугольника равна AB, a вторая 2h

Antacid · Сообщение **Antacid** » 11 мар 2009, 17:41

a... мда, прочитал криво)

уау O.o
Я бы в жизни не догадался!)) Сидел бы, делил на треугольники)) Спасибо)

12d3 · Сообщение **12d3** » 11 мар 2009, 17:48

Antacid писал(а):Source of the post
Это уже что-то но у меня тут сомнения по поводу площади прямоугольника мб она равна не 2*h*AB, a просто h*AB?

Рисунок.

Таки 2*h*AB.

yourdomain.com