Система уравнений c двумя переменными и параметром. (Сложная)

kobras · Сообщение **kobras** » 11 мар 2009, 17:22

xoxagrob писал(а):Source of the post

Ну,a=0 подходит.
Будет система
$\{{x^2 = y\\y^2 = x}$

Эти две параболы как раз пересекаются в двух точках (0;0) и (1;1)

Чем вам этот параметр не подходит не понимаю?
Мне кажеться что это единственное решения.
Потому что если выразить x через y, то у нас появиться уравнения 4 степени относительно y.
$$y^4-2ay^3+2a^2y^2-ay^2-2a^3y+2a^2y+ay-y=0$$

Оно может иметь 2 разных решения тогда и только тогда когда 2 квадратных уравнения на которые оно раскладываеться каждое из них имеет по 2 одинаковых кореня. Как не трудно увидеть одним из кореней всегда есть $$y=0$$

. Поделем тепер на него и у нас получаеться:
$$y^3-2ay^2+2a^2y-ay-2a^3+2a^2+a-1=0$$

еще раз корень $$y=0$$

может быть только если $$-2a^3+2a^2+a-1=0$$

, откуда три кореня:
$a=1,a=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}$
Проверяем $$a=1$$

:

отсюда оказываеться что коренями есть $$y=0, y=1, y=1$$

тойсть удовлетворяет условия. Аналогично проверяем для $a=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}$ . Это уже сделайте сами хотя я думаю что они не подойдут

kobras · Сообщение **kobras** » 11 мар 2009, 18:27

Ошибся в кое чем...
Если подставить потом в начальное уравнения $$a=1$$

то получаеться снова 4 решения.
Тойсть $$a=1$$

, тоже не подходит.
Еще я забыл об одном случае, когда $y_{1}=0, y_{2}=y{3}=y{4}$ . Тойсть еще нужно поиграть c уравнениям:
$$y^3-2ay^2+2a^2y-ay-2a^3+2a^2+a-1=0$$

чтоб все три решения $$y$$

были равными

da67 · Сообщение **da67** » 11 мар 2009, 19:22

kobras писал(а):Source of the post чтоб все три решения были равными

He обязательно равными. Достаточно, чтобы был только один действительный корень. Если не лень, можно выписать дискриминант кубического уравнения и получить условие на параметр $$a$$

.

vvvv · Сообщение **vvvv** » 11 мар 2009, 19:58

Задача элементарная, но оказалась интересной

Dm13 · Сообщение **Dm13** » 12 мар 2009, 10:45

vvvv писал(а):Source of the post
Задача элементарная, но оказалась интересной
...

По-вашему это - решение??

vvvv · Сообщение **vvvv** » 12 мар 2009, 17:25

Dm13 писал(а):Source of the post
vvvv писал(а):Source of the post
Задача элементарная, но оказалась интересной
...

По-вашему это - решение??

Если Вы не понимаете o чем речь, то-нет.Достаточно пошевелить параметр (a также мозгами) и решение проявится.

venja · Сообщение **venja** » 13 мар 2009, 05:33

IQDDD писал(а):Source of the post
Дана система уравнений c параметром a:

$\{{x^2-ax = y(1+a)\\y^2 - x(1-a) = ay }$

Найти все значения a, при которых система имеет ровно два решения.

Мне не терпится узнать, как решать такие задачки.

Хочу описать один общий эффективный прием прием решения подобных задач, хотя в данном случае он пока к решению не привел (к моему удивлению - быть может кто-то и применит его, либо в условии опечатка).

Ясно, что ипри любом a одно из решений всегда нулевое (0,0). Поэтому требуется найти все значения a, при которых есть в точности одно ненулевое решение. Далее обычно используют симметрию системы, которая, в общем виде, позволяет утверждать, что если система имеет некоторое решение (х0,у0), то она обязательно будет иметь решением и ( f(x0,y0), g(x0,y0) ), где вид функций f и g зависит от вида симметрии. Например, если система симметричная (не меняется при замене x <-> y), то вместе c (х0,у0) решением будет и (у0,х0). Или если х входит в систему четным образом (в четной степени, под модулем. косинусом ...), то вместе c (х0,у0) решением будет и (-х0,у0) . И т.д и т.п. .
Ho поскольку решение нужно только одно (ненулевое), то решение ( f(x0,y0), g(x0,y0) ) либо должно совпадать c нулевым, либо c (х0,у0). Такой вывод обычно позволяет выделить лишь несколько значений a, подозрительных на ответ. Каждое из них проверяется отдельно.

B данном примере я пока не смог увидеть нужную симметрию системы и тем самым определить вид функций f и g. Может быть кто-нибудь это увидит? Либо тв условии опечатка в каком-либо знаке? Либо это задача на другой прием, но описание данного приема все равно полезно, так как

IQDDD писал(а):Source of the post
Мне не терпится узнать, как решать такие задачки.

IQDDD · Сообщение **IQDDD** » 13 мар 2009, 12:47

venja
Может и имеет место опечатка, но только в книжке. Вот только что я удостоверился в совпадении условий здесь и в книге. (Ответов нет )

зы: может попытаться написать прогу, чтобы проверяла значения a от -1000 до +1000 c точностью до 0,001 и находила корни при каждом значении. хотя я ещё новичок в программировании, так что врят ли.

venja · Сообщение **venja** » 13 мар 2009, 17:06

Такая программа ничего Вам не даст для достижения поставленной цели - научится решать аналитически подобные задачи.

vvvv · Сообщение **vvvv** » 13 мар 2009, 19:01

Как я погляжу, параметр шевелить никто не хочет.

yourdomain.com