Уравнение четвёртой степени

Dakota · Сообщение **Dakota** » 14 фев 2008, 18:57

Как найти корни данного уравнения? (уравнение имеет два иррациональных корня)
$$x^4+3x^2+10x-21=0$$

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 14 фев 2008, 19:21

Dakota писал(а):Source of the post
Как найти корни данного уравнения? (уравнение имеет два иррациональных корня)

Dakota · Сообщение **Dakota** » 14 фев 2008, 19:49

AV_77 писал(а):Source of the post
Dakota писал(а):Source of the post
Как найти корни данного уравнения? (уравнение имеет два иррациональных корня)

По-другому как-нибудь можно? Я так понимаю разложение осуществляется подбором..

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 14 фев 2008, 20:07

Dakota писал(а):Source of the post
По-другому как-нибудь можно?

A почему нет? Берете формулу Феррари и вперед.

Draeden · Сообщение **Draeden** » 15 фев 2008, 05:22

Ha формулу Феррари слабонервным лучше не смотреть
Пусть дано уравнение

$$ x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 $$

делаете замену

$y = x + \frac a 4$

и уравнение тут же приобретает вид

$$ y^4 + b'y^2+c'y+d' = 0 $$

далее переносите последние три слагаемых вправо и добавляете $$ 2sy^2 + s^2 $$

c трудом заметив, что слева стоит полный квадрат

$$ (y^2+s)^2 = (2s-b')y^2-c'y+s^2-d $$

полезно найти условия, при которых выражение справа также является полным квадратом

$c'^2-4(s^2-d)(2s-b')=0 \\ -8s^3+4b's^2+8ds+c'^2-4db' = 0$

что есть кубическое уравнение решаемое достаточно легко
Если предположить, что кубическое уравнение имеет хотя бы один вещественный корень
то можно считать, что при каком то $$ s $$

выражение

имеет единственный корень

$\alpha = \frac {c'} {2(2s-b')}$

a посему мы получаем равенство

$(y^2+s)^2=(y-\alpha)^2$

решить которое мне не удалось

Dakota · Сообщение **Dakota** » 19 фев 2008, 15:04

Уравнение решено, тема закрыта!

yourdomain.com