Несколько уравнений

Arwen · Сообщение **Arwen** » 08 ноя 2007, 01:08

Помогите пожалуйста решить)

Заранее спасибо!

Natrix · Сообщение **Natrix** » 08 ноя 2007, 01:39

Arwen писал(а):Source of the post
Помогите пожалуйста решить)

Заранее спасибо!

$\sqrt[3]{(2-x)^2}+\sqrt[3]{(7+x)^2}-\sqrt[3]{(2-x)(7+x)}=3\\u=\sqrt[3]{(2-x)^2}\\v=\sqrt[3]{(7+x)^2}\\u^3+v^3=9\\u^2-uv+v^2=3\\u^3+v^3=(u+v)(u^2-uv+v^2)=9\\u+v=3\\v=3-u\\u^2-u(3-u)+(3-u)^2=3\\u^2-3u+u^2+9-6u+u^2=3\\3u^2-9u+6=0\\u^2-3u+2=0\\u_{1,2}=\frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2}=\frac{3\pm 1}{2}\\u_1=2\\u_2=1\\\sqrt[3]{(2-x_1)^2}=2\\(2-x_1)^2=8\\2-x_1=2\sqrt{2}\\x_1=2-2\sqrt{2}\\\sqrt[3]{(2-x_2)^2}=1\\2-x_2=1\\x_2=1\\\text{-----------------}\\x_1=2-2\sqrt{2}\\x_2=1$

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 08 ноя 2007, 02:34

15.
$x^2 \sqrt{x} + \frac{1}{x^2 \sqrt{x}} = -x^4 + 2x^2 + 1 = 2 - (x-1)^2$ .
Теперь рассмотрим две функции
$f_1(x) = x^2 \sqrt{x} + \frac{1}{x^2 \sqrt{x}}$
и
$$ f_2(x) = 2 - (x-1)^2 $$

.
He так трудно показать, что первая функция (на своей области определения) имеет минимум в точке $$ x = 1 $$

, причем

. C другой стороны, $$ f_2(x) $$

имеет максимум в точке $$ x= 1 $$

, причем

.
Таким образом, $$ x = 1 $$

- наше решение.

Natrix · Сообщение **Natrix** » 08 ноя 2007, 02:43

Arwen писал(а):Source of the post
Помогите пожалуйста решить)

Заранее спасибо!

$x^2\sqrt{x}+\frac{1}{x^2\sqrt{x}}=-x^4+2x^2+1\\D:x \in ]0;+\infty[\\x=u^2\\u^5+\frac{1}{u^5}=-u^8+2u^4+1\\u^{10}+1=-u^{13}+2u^{9}+u^5\\u^{13}+u^{10}-2u^9-u^5+1=0\\u^{13}-u^{12}+u^{12}-u^{11}+u^{11}-u^{10}+2(u^{10}-u^9)-(u-1)(u^4+u^3+u^2+u+1)=0\\(u-1)(u^{12}+u^{11}+u^{10}+2u^9+u^4+u^3+u^2+u+1)=0\\u_1=1;\text{ } x_1=1\\u^{12}+u^{11}+u^{10}+2u^9+u^4+u^3+u^2+u+1=0\\(u^{12}+u^{11})+(u^{10}+u^9)+(u^9+u^4)+(u^3+u^2)+(u+1)=0\\(u+1)u^{11}+(u+1)u^{9}+u^4(u+1)(u^4-u^3+u^2-u+1)+(u+1)u^2+(u+1)=0\\(u+1)(u^{11}+u^9+u^8-u^7+u^6-u^5+u^2+1)=0\\u_2=-1;\text{ } x_2=1\\u^{11}+u^9+u^8-u^7+u^6-u^5+u^2+1=0\\(u^{11}+u^9)+(u^8+u^6)-(u^7+u^5)+(u^2+1)=0\\(u^2+1)(u^9+u^6-u^5+1)=0\\u^2+1>0\\u^9+u^6-u^5+1=0\\u^9+u^7-u^7-u^5+u^6+u^4-u^4-u^2+u^2+1=0\\(u^2+1)(u^7-u^5+u^4-u^2+1)=0\\u^2+1>0\\u^7-u^5+u^4-u^2+1=0$

и т.д.. понижая степень

bot · Сообщение **bot** » 08 ноя 2007, 08:12

15. Для положительных $$a$$

имеем $a+\frac{1}{a}=(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}})^2 + 2 \ge 2$ , причём равенство возможно только при $$a=1$$

. Поэтому левая часть равенства не менее двух. Правая: $-x^4+2x^2+1=2-(x^2-1)^2 \le 2$ . Ответ: x=1.

16. Полная халява. Левая часть - возрастающая на ОДЗ функция, следовательно корней не более одного. Этот единственный находится методом пристального взгляда: x=2.

17. $9-2x=(\sqrt{13-2x}-2)(\sqrt{13-2x}+2)$ . Поэтому уравнение сводится к следующему:

$(\sqrt{13-2x}-2)(\sqrt{13-2x}+2)=(\sqrt{13-2x}-2)(\sqrt{2x-3}+4)$ .

Отсюда варианты:

a) $\sqrt{13-2x}-2=0 \Leftrightarrow x=\frac{9}{2}$ - годится.

b ) $\sqrt{13-2x}=\sqrt{2x-3}+2$ . Чтобы не мучиться c возведением в квадрат лучше взглянуть пристально - левая часть убывает, правая возрастает, следовательно корней не более одного. Годится x=2.

P.S. У-у-п-c, не заметил 15-ю у AV_77 - практически то же самое, только c опечаткой в $$f_2(x)$$

.
Впрочем, Natrix тоже, похоже, пропустил.

Arwen · Сообщение **Arwen** » 08 ноя 2007, 18:11

Всем спасибо!) Что бы я без вас делала?...))

Arwen · Сообщение **Arwen** » 12 ноя 2007, 23:55

Natrix писал(а):Source of the post
Arwen писал(а):Source of the post
Помогите пожалуйста решить)

Заранее спасибо!

$\sqrt[3]{(2-x)^2}+\sqrt[3]{(7+x)^2}-\sqrt[3]{(2-x)(7+x)}=3\\u=\sqrt[3]{(2-x)^2}\\v=\sqrt[3]{(7+x)^2}\\u^3+v^3=9\\u^2-uv+v^2=3\\u^3+v^3=(u+v)(u^2-uv+v^2)=9\\u+v=3\\v=3-u\\u^2-u(3-u)+(3-u)^2=3\\u^2-3u+u^2+9-6u+u^2=3\\3u^2-9u+6=0\\u^2-3u+2=0\\u_{1,2}=\frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2}=\frac{3\pm 1}{2}\\u_1=2\\u_2=1\\\sqrt[3]{(2-x_1)^2}=2\\(2-x_1)^2=8\\2-x_1=2\sqrt{2}\\x_1=2-2\sqrt{2}\\\sqrt[3]{(2-x_2)^2}=1\\2-x_2=1\\x_2=1\\\text{-----------------}\\x_1=2-2\sqrt{2}\\x_2=1$

Начала еще раз разбираться - не очень понятна 4 строчка и 6. Это откуда взялось?

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 13 ноя 2007, 00:30

Arwen писал(а):Source of the post
Начала еще раз разбираться - не очень понятна 4 строчка и 6. Это откуда взялось?

Там просто опечатка. Должно быть
$u = \sqrt[3]{2-x}, \quad v = \sqrt[3]{7+x}.$

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 13 ноя 2007, 00:36

Зато я думаю, что за бред!!!! Вот теперь всё встало на свои места!!!

yourdomain.com