Арифметические прогрессии

Nina · Сообщение **Nina** » 09 ноя 2007, 23:35

Найти все трёхзначные числа, цифры которых образуют арифметическую прогрессию и каждое из которых делится нацело на 45.

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 10 ноя 2007, 00:02

Nina писал(а):Source of the post
Найти все трёхзначные числа, цифры которых образуют арифметическую прогрессию и каждое из которых делится нацело на 45.

Пусть

- искомое число. Так как это число делится на 45, то оно делится на 5 и на 9. Так как оно делится на 5, то необходимо $c \in \{0,\ 5\}$ .

Пусть, сначала, $$ c = 0 $$

. Очевидно, что в этом случае (так как цифры образуют арифметическую прогрессию), должно быть
$b = x,\ a = 2x$
и число имеет вид
$100 \cdot 2x + 10 \cdot x$ .
Чтобы найти $$ x $$

перейдем к сравнениям по модулю 9. Получим
$2x + x \equiv 0 \pmod{9}$
откуда
$$ x = 3 $$

и число соответственно равно 630.

Аналогично рассматривается случай, когда $$ c = 5 $$

. При этом получатся два числа 135 и 765.

Nina · Сообщение **Nina** » 10 ноя 2007, 00:37

Большое спасибо!!! :yes:

Nina · Сообщение **Nina** » 24 ноя 2007, 18:49

Почему когда c=0, то в=х , a=2х? И что значит сравнения по модулю? :rolleyes:

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 24 ноя 2007, 19:51

Nina писал(а):Source of the post
Почему когда c=0, то в=х , a=2х? И что значит сравнения по модулю? :rolleyes:

Наши цифры образуют арифметическую прогрессию. Пусть $$ x $$

- разность этой прогрессии. Тогда при $$ c = 0 $$

должно быть $$ b = c + x = x $$

и

.

Сравнение $a \equiv b \pmod{c}$ означает, что разность $$ a - b $$

делится на $$ c $$

.

saturn-009 · Сообщение **saturn-009** » 18 окт 2009, 10:23

a без модулей можно как нето обойтись? please? помогите!

altjap · Сообщение **altjap** » 13 дек 2009, 12:58

Может кто-нибудь объяснить логику в доказательстве этой теоремы(делимость на 9):

Произвольное число x= x1+x2*10...+xn*10^(n-1), где x1, x2,...,xn – цифры числа x в десятичной записи. Так как 10 ≡ 1 (mod 9), то 10 2 ≡ 1 (mod 9) и вообще 10 k ≡ 1 (mod 9) для любого натурального k . Отсюда x= x1+x2*10...+xn*10^(n-1) III x1+x2...+xn*(mod9). Теорема доказана.

M	Для написания формул используйте $\LaTeX$ , a эти каракули никто разбирать не будет.

A	Для написания формул используйте $\LaTeX$ , a эти каракули никто разбирать не будет.

yourdomain.com