несколько уравнений повышенной сложности.

Старик

1. Решить уравнение
$\sqrt{2x^2-8x+12}+\sqrt{5x^2-20x+36}=6-\sqrt{x-2}$

2.Решить систему равнений
$\{{x^3/y^2+3y/4x=2 \\ 8y/x^2-6x/y=5}$

3.Решить систему равнений
$\{{3\sqrt[3]{x^2y^5}=4(y^2-x^2) \\ 5\sqrt[3]{x^4y}=x^2+y^2$

4.Решить неравенство
$\sqrt{(\sqrt{x}-2/3)/(x-23/27)} \leq 1/(\sqrt{x}-1/3)$

5.Решить неравенство
$\sqrt{4-x}-2 \leq x|x-3|+4x$

6.Решить неравенство
$\sqrt{\sqrt{2x+9/4}+3/2} \geq x$

7.Найти все значения параметра $$a$$

, при которых множество решений системы неравенств
$\{{(x-a)^2+x+y^2 \leq 3 \\ x-a+y^2 \leq 0}$ содержит отрезок c концами в точка (1;0) и (1;1)

8.Найти все х, при которых хотя бы одно из двух выражений
$$A(x)=|x-3|(|x-5|-|x-3|)-6x$$

и

неположительно, и при этом его модуль не меньше модуля другого.

9.Найти все значения параметра $$a$$

, при которых уравнение
$\sqrt{(x^2+3|x|+2)(x^2+7|x|+12)+1}=5|x|+ax-a^2-6a+3$
имеет корни, как боьлшие -2, так и меньшие -2.

10.Определить, при каких значениях параметра $$b$$

при любых значениях параметра $$a$$

система уравнений
$\{{x^2+y^2-5x+6y+4=0 \\ y+ax+ab=0}$
имеет ровно два различных решения (x;y).

14. Найти все значения x, которые удовлетворяют неравенству
$$(2a-1)x^2<(a+1)x+3a$$

при любом значении $$a$$

, принадлжеащем промежутку (1;2).

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 21 окт 2007, 13:48

Старик писал(а):Source of the post
1. Решить уравнение
$\sqrt{2x^2-8x+12}+\sqrt{5x^2-20x+36}=6-\sqrt{x-2}$

$\sqrt{2x^2-8x+12}+\sqrt{5x^2-20x+36} = \sqrt{2(x-2)^2+4}+\sqrt{5(x-2)^2+16}\ge \sqrt{4}+sqrt{16}=6$
$6-\sqrt{x-2}\le 6$
Поэтому единственно возможный корень
$$x=2$$

. Проверкой убеждаемся что он подходит

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 21 окт 2007, 14:22

Старик писал(а):Source of the post
14. Найти все значения x, которые удовлетворяют неравенству

при любом значении , принадлжеащем промежутку (1;2).

$x_1 = \frac{(a+1) + (5a-1)}{2(2a-1)} = \frac{3a}{2a-1}$
$x_2 = \frac{(a+1) - (5a-1)}{2(2a-1)} = -1$

$x \in \left( -1,\ \frac{3a}{2a-1} \right).$

A дальше самостоятельно.

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 21 окт 2007, 14:53

Старик писал(а):Source of the post
2.Решить систему равнений
$\{{x^3/y^2+3y/4x=2 \\ 8y/x^2-6x/y=5}$

Сделаем замену $$y=tx$$

, тогда система пример вид
$\{{x/t^2+\frac{3}{4}t=2 \\ 8t/x-6/t=5}$ или
$\{{x+\frac{3}{4}t^3=2t^2 \\ 8t^2-6x=5xt}$
Выражаем из первого уравнения х через t и подставляем во второе уравнение

Старик писал(а):Source of the post
3.Решить систему равнений
$\{{3\sqrt[3]{x^2y^5}=4(y^2-x^2) \\ 5\sqrt[3]{x^4y}=x^2+y^2$

Перемножив уравнения системы, получаем
$$15x^2y^2=4(y^4-x^4)$$

, дальше поделив обе части на $$y^4$$

(перед этим прверив случай у=0) и введя замену $\frac {x^2} {y^2}=t$ получим квадратное уравнение, дальше просто

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 21 окт 2007, 14:55

Старик писал(а):Source of the post
10.Определить, при каких значениях параметра при любых значениях параметра система уравнений
$\{{x^2+y^2-5x+6y+4=0 \\ y+ax+ab=0}$
имеет ровно два различных решения (x;y).

Приводим первое уравнение к каноническому виду:
$\left( x - \frac{5}{2} \right)^2 + (y + 3)^2 = \frac{45}{4}, \\ y = -ax - ab$
и видим, что первое уравнение задает окружность c центром в точке $\left( \frac{5}{2}, -3 \right)$ , a второе уравнение - некоторую прямую, у которой тангенс угла наклона равен $$ -a $$

. Осталось только (зафиксировав $$ a $$

) найти две касательные c таким же углом наклона и определить диапазон изменения $$ b $$

так, чтобы наша прямая лежала между этими касательными.
Нарисуйте рисунок и все станет понятно.

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 21 окт 2007, 15:07

Старик писал(а):Source of the post
5.Решить неравенство
$\sqrt{4-x}-2 \leq x|x-3|+4x$

$\sqrt{4-x}-2 \leq x(|x-3|+4)$
При $x\in[0;4]$ левая часть неравенства неположительна, a правая неотрицательна пожтому неравенство выполняется.
При $x\in(-\infty;0)$ левая часть положительна, a правая отрицательна, поэтому неравенство невыполняется. Таким образом решение $x\in[0;4]$

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 21 окт 2007, 15:24

Старик писал(а):Source of the post
6.Решить неравенство
$\sqrt{\sqrt{2x+9/4}+3/2} \geq x$

Стандартный ход решения: неравество
$\sqrt{f(x)}\ge g(x) \to \[{\{{f(x)\ge 0 \\ g(x)\le 0} }\\\{{g(x)\ge 0 \\ f(x)\ge g^2(x)}$
после применения этого два раза, получим

$\[{x\in[-\frac {9} {8};\sqrt{\frac {3} {2}}] \\ \{{x\ge\sqrt{\frac {3} {2}} \\ 2x+\frac {9} {4}\ge(x^2-\frac {3} {2})^2}}$
Неравество $2x+\frac {9} {4}\ge(x^2-\frac {3} {2})^2$ после раскрытия скобок и приведения подобых сводится к
$x^4-3x^2-2x\le0$ или
$x(x-1)(x^2-2)\le0$ .
Дальше должно быть ясно
Окончательный ответ у меня вышел $x\in[-\frac {9} {8};\sqrt{2}]$
Если нигде не ошибся то так

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 21 окт 2007, 15:39

Старик писал(а):Source of the post
9.Найти все значения параметра , при которых уравнение
$\sqrt{(x^2+3|x|+2)(x^2+7|x|+12)+1}=5|x|+ax-a^2-6a+3$
имеет корни, как боьлшие -2, так и меньшие -2.

$(x^2+3|x|+2)(x^2+7|x|+12)=(|x|+1)(|x|+2)(|x|+3)(|x|+4)\\=(x^2+5|x|+4)(x^2+5|x|+6)=[x^2+5|x|+4=t]=t(t+2)=t^2+2t$
(при переходе от второго равенства к третьему сгруппировали 1 и 4 скобку и 2 и 3 скобки)
Тогда наш страшный корень превратится в милое выражение
$\sqrt{t^2+2t+1}=|t+1|=x^2+5|x|+5$
Таким образом, задача сводится к следующей:
определить при каких значениях параметра число -2 лежит между корнями уравнения
$$x^2-ax+a^2+6a+2=0$$

Это как известно эквивалентно условию
$\{{D>0 \\ f(-2)<0}$

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 21 окт 2007, 16:00

Старик писал(а):Source of the post
7.Найти все значения параметра , при которых множество решений системы неравенств
$\{{(x-a)^2+x+y^2 \leq 3 \\ x-a+y^2 \leq 0}$ содержит отрезок c концами в точка (1;0) и (1;1)

Так как точка (1;1) должна быть решением неравенства то должно выполняться
$\{{(1-a)^2 \leq 1 \\ 2-a \leq 0}$ исходная система эквивалентна системе
$\{{a \in [0;2] \\ 2-a \leq 0}$ но этой системе удовлетворяет только $$a=2$$

Таким образом, для выполнения условия задачи необходимо (но не достаточно) чтобы $$a=2$$

для проверки достаточности необходимо графически решить систему

$\{{(x-2)^2+x+y^2 \leq 3 \\ x-2+y^2 \leq 0}$

yourdomain.com