Помогите решить задачи! Срочно! Очень сложно...

bot · Сообщение **bot** » 20 сен 2007, 09:25

Проводите NM до персечения c AC в точке Q и два треугольника QNC и ABC составят конфигурацию Минелая, откуда получите QA=AC. Чтобы обойтись без теоремы Минелая, проведите через N среднюю линию треугольника ABC - получите кучу подобий, откуда легко получите то же самое.
Далее проводите QK до пересечения c CD - это и есть точка L. Опять получаете конфигурацию Минелая. По этой теореме или просто проведя через A среднюю линию треугольника QCL получите CL=2LD. Первая часть решения готова.
Вторая часть - это сравнение объёмов пирамид. Допишу потом, если кто-нибудь не опередит - сейчас убегаю.

koskaolmi · Сообщение **koskaolmi** » 20 сен 2007, 18:18

Ну тогда буду ждать! :rolleyes:

bot · Сообщение **bot** » 21 сен 2007, 16:00

koskaolmi писал(а):Source of the post
Ну тогда буду ждать! :rolleyes:

A сами не пробовали?
Co временем туговато, как делать ясно, a надо вычислять, да ещё и накнопать всё это. Откровенно говоря, надеялся, что кто-нибудь подхватит эстафету.
Ну давайте намечу дальнейшие действия.
Начнём c простого. Пусть в некоторой плоскости имеется многоугольник и дана точка O вне этой плоскости. Получается пирамида c вершиной в O, a основание - это данный многоугольник. Как будет меняться объём, если мы начнём двигать точку O, не меняя основания? Если будем двигать параллельно плоскости - меняться не будет, a если удалять или приближать?
Возьмём прямую, пересекающую плоскость в точке H и сдвинем O вдоль прямой OH в точку O'.
Опустите перпендикуляры из точки O и O' на плоскость и из возникших подобных треугольников увидите, что высота пирамиды, a следовательно и её объём изменился c коэффициентом $\frac{HO'}{HO}$ .
K примеру, сдвинем точку $$N $$

в точку

и из условия $V_{NACLK}=8$ получим $V_{BACLK}=16$ ...
Можно, наоборот, не меняя точки O, менять основание. Если площадь основания изменить в какой либо пропорции, c каким либо коэффициентом, то и объём изменится в этой же пропорции.
Возьмём снова пирамиду $$ NACLK$$

и заменим основание $$ ACLK$$

на основание $$ ACD$$

, превратив четырёхугольную пирамиду в треугольную. Теперь нужно проследить изменение площадей основания, a Вы контролируйте мою арифметику!
Так как $$ AD=2KD$$

и

, то $S_{ACD}=2\cdot 3\cdot S_{KLD}$ . Отсюда $S_{ACD} = \frac{6}{5}S_{AKLC}$ , следовательно $V_{NACD}=\frac{6}{5}V_{NAKLC}=\frac{48}{5}$ .
Отрывают ...
Надеюсь уже понятна цель - надо потихонечку добраться до объёма пирамиды ANMKL, в которой нам известна площадь основания.

koskaolmi · Сообщение **koskaolmi** » 21 сен 2007, 16:08

Вот спасибо! :rolleyes: Да я только и делаю, что пытаюсь решить. :blink: Я уже решила две, a c этой-никак. Мне еще надо будет делать презентацию решения всех трех задач... <_< Совсем недавно поступила на матчасть.... :search:

bot · Сообщение **bot** » 22 сен 2007, 10:31

O! Я придумал, как можно быстро накнопать решение, глядя на нарисованную картинку и при этом избежать нудных повторов
«берём пирамиду … , становимся на её основание … и двигаем вершину … в точку …, тогда получим …».
Эти повторы только загромождают решение и создают видимость сложности.

Смотрите, я беру последний вычисленный уже объём и добавляю ещё одно равенство:
$V_{NCAD}=\frac{48}{5}= V_{DCAN}$ . Разумеется, перестановка вершин не меняет пирамиды и её объёма, но этом я объявляю свои намерения – первые две буквы говорят, что я сейчас сдвину точку D по прямой DC, a основание $$CAN$$

останется прежним. Первая буква L в следующей строчке указывает, куда сдвинулась D, a коэффициент $\frac{2}{3}$ – это отношение $$CL : CD$$

.

Итак, поехали:

$V_{NCAD}=\frac{48}{5}= V_{DCAN}$ .

$V_{LCAN }=\frac{2}{3}\cdot \frac{48}{5}= \frac{32}{5}=V_{ACLN}$ .

$V_{ QCLN }=2\cdot \frac{32}{5}= \frac{64}{5}=V_{CQLN}$ .

$V_{ AQLN }=\frac{1}{2}\cdot \frac{64}{5}=\frac{32}{5}$ .

Теперь осталось сравнить объёмы $V_{ AQLN }$ и $V_{ AMKLN}$ ,

a для этого лишь требуется сравнить площади оснований.
Как уже делалось из двух конфигураций Менелая (нужно лишь поменять ролями треугольники, составляющие эти конфигурации) по этой теореме или просто через подобие получаем:

$S_{QMK}=\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}\cdot S_{QLN} = \frac{1}{2}\cdot S_{QLN}$ ,

поэтому $V_{ AMKLN}=\frac{1}{2}V_{ AQLN }= \frac{16}{5}= \frac{1}{3}h S_{ MKLN} = \frac{16h}{3} \Rightarrow \fbox{h=\frac{3}{5}} \ \ END$

koskaolmi · Сообщение **koskaolmi** » 22 сен 2007, 11:13

Вы гений! :air_kiss: Теперь у меня точно всё получится! ( я надеюсь) . Спасибо! :give_rose:

iii · Сообщение **iii** » 23 сен 2007, 16:02

и ,

Мягко говоря, это неправда! A значит неправда все остальное!

bot · Сообщение **bot** » 23 сен 2007, 18:48

iii писал(а):Source of the post
и ,

Мягко говоря, это неправда! A значит неправда все остальное!

Это правда.
Обойдусь без Менелая - хотя я его и поминал, но не пользовался. Проще провести нужную линию для доказательства этой теоремы и из подобий видно всё, как на ладони.
Через A проведём прямую, параллельную CD до пересечения c QL в точке P. Буду считать, что c равенством QA=AC согласились - оно было раньше. Поэтому AP - средняя линия, стало быть LC=2AP. Из равенства треугольников KPA и KLD (ведь K - середина AD) имеем AP=LD. Поэтому CD=LC+LD=2AP+LD=2LD+LD=3LD.
Проверяйте дальше - очепятки могут быть.

P.S. Добавлю: и последовательность движений может быть не оптимальна - просто как катилось, глядя на чертёж, так и кнопал. Вот только от двух крайних переходов никуда - особого смысла двигать вершину там нет, от четырёхугольности это не избавляет.

iii · Сообщение **iii** » 23 сен 2007, 20:33

Объем всей пирамиды равна 64/3.Плоскость рассекает пирамиду на две равные части т.e. по 32/3.

iii · Сообщение **iii** » 23 сен 2007, 21:43

См. картинку

NL также средняя линия треугольника BCD!

yourdomain.com