решите задачу

Auris · Сообщение **Auris** » 17 июн 2007, 13:53

Всю неделю задачи решались просто замечательно, a к выходным опять тупик. посмотрите две задачки:
1. четырехугольник ABCD co сторонами AB=6, BC=6(sqrt2), CD=2(sqrt7), DA=8 вписан в окружность. Найти длину окружности.
2. Две окружности вписаны в угол величины a. Найти иотношение их радиусов, если известно, что при увеличении радиуса меньшей окружности в 2 раза c сохранением центра, она извне касается окружности.
Спасибо.

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 17 июн 2007, 14:32

Auris писал(а):Source of the post
1. четырехугольник ABCD co сторонами AB=6, BC=6(sqrt2), CD=2(sqrt7), DA=8 вписан в окружность. Найти длину окружности.

Сначала замечаем, что у вписанного в окружность четырехугольника сумма противолежащих углов равна $\pi$ .
Теперь, по теореме косинусов, ищем длину отрезка AC:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos \alpha = AD^2 + CD^2 - 2 AD \cdot DC \cdot \cos (\pi - \alpha)$ ,
где $\alpha$ - угол ABC.
Из этого уравнения находим угол $\alpha$ . Затем находим длину отрезка AC. После этого, из вписанного треугольника ABC находим радиус окружности:
$R = \frac{1}{2} \frac{AC}{\sin \alpha}$ .
Ну и, наконец, находим длину окружности $l = 2 \pi R.$

kallisto · Сообщение **kallisto** » 18 июн 2007, 00:10

2. Две окружности вписаны в угол величины a. Найти иотношение их радиусов, если известно, что при увеличении радиуса меньшей окружности в 2 раза c сохранением центра, она извне касается окружности.

Если не ошибаюсь, то так:
Пусть r и R соответственно - радиусы окружностей, x = r / sin(a/2) - расстояние от вершины угла до центра меньшей окружности, тогда получается, что расстояние от вершины угла до центра большей окружности = x + r + R. Проведем радиусы в точки касания окружностей co одной из сторон угла, тогда из подобия прямоугольных треугольников: $\frac {r} {R} = \frac {x} {x + r + R}$

Отсюда выражаем:
$R = \frac {rx + r^2} {x - r}$
$R = \frac {r(x + r)} {x - r}$
$\frac {r} {R} = \frac {x - r} {x + r} = \frac {1 - sin(\frac {a} {2})} {1 + sin(\frac {a} {2})}$

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 18 июн 2007, 00:14

Auris писал(а):Source of the post
2. Две окружности вписаны в угол величины a. Найти иотношение их радиусов, если известно, что при увеличении радиуса меньшей окружности в 2 раза c сохранением центра, она извне касается окружности.

Рассмотрим рисунок.
Пусть $$ AB = b $$

. По условию задачи, $BD = r,\ CE = R,\ BC = 2r+R$ .
Из прямоугольного треугольника ABD получаем
$r = b \sin \frac{a}{2}$ или $b = \frac{r}{\sin \frac{a}{2}}.$ Для удобства, положим $\frac{a}{2} = \alpha$ .
Из прямоугольного треугольника ACE получаем
$R = (b + 2r + R) \sin \alpha = \left( \frac{r}{\sin \alpha} + 2r + R \right) \sin \alpha$ .
Приводя подобные члены, получим
$R(1 - \sin \alpha) = r(1 + 2 \sin \alpha)$
или
$\frac{R}{r} = \frac{(1 - \sin \alpha)}{(1 + 2 \sin \alpha)}$ .

kallisto , отличное решение, но есть небольшая ошибка: расстояние от вершины угла до центра большой окружности равно $$ x + 2r + R $$

.

Auris · Сообщение **Auris** » 18 июн 2007, 18:01

kallisto, AV_77 - спасибо. :yes:
Дайте совет, a где поискать материал по решениям таких вот нестандартных задач, каждый раз новый прием. Говорят, есть какие то опорные задачи.

kallisto · Сообщение **kallisto** » 23 июн 2007, 02:39

B задачнике Сканави много полезных задач

yourdomain.com