система из двух тригонометрических уравнений

Dubinsky · Сообщение **Dubinsky** » 24 май 2007, 02:35

Здравствуйте, уважаемые участники,

по существу: есть система уравнений

$\left\{ \text{sin(\alpha) + sin(\beta) = a\\cos(\alpha) - cos(\beta) = b} \right.$

a как её решить - не имею понятия, начал и упёрся в нечто неупрощаемое, пожалуйста, помогите

блин, забыл сказать что неизвестные - только альфа и бэта

Natrix · Сообщение **Natrix** » 24 май 2007, 02:55

Dubinsky писал(а):Source of the post
Здравствуйте, уважаемые участники,

по существу: есть система уравнений

$\left\{ \text{sin(\alpha) + sin(\beta) = a\\cos(\alpha) - cos(\beta) = b} \right.$

a как её решить - не имею понятия, начал и упёрся в нечто неупрощаемое, пожалуйста, помогите

блин, забыл сказать что неизвестные - только альфа и бэта

$\sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin{\frac{\alpha + \beta}{2}}\cos{\frac{\alpha - \beta}{2}}=a\\\cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac{\alpha + \beta}{2}}\sin{\frac{\alpha - \beta}{2}}=b\\\tan{\frac{\alpha - \beta}{2}}=-\frac{b}{a}$
И так далее...

Dubinsky · Сообщение **Dubinsky** » 24 май 2007, 03:16

Извините, чувствую себя полным идиотом... но откуда тангенс, и что c ним дальше делать?

Natrix · Сообщение **Natrix** » 24 май 2007, 10:36

Dubinsky писал(а):Source of the post
Извините, чувствую себя полным идиотом... но откуда тангенс, и что c ним дальше делать?

Взяли и поделили второе равенство на первое. Из тангенса находим соотношение между углами, выражаем любой и подставляем в одно из уравнений системы. Получаем нормальное тригонометрическое уравнение, которое успешно решаем.

Dubinsky · Сообщение **Dubinsky** » 24 май 2007, 14:52

$\frac {\alpha - \beta} {2} = arctan(-\frac {a} {b})$

так как в арктангенсе числа, то и сам арктангенс - число, заменяем для удобства:

$arctan(-\frac {a} {b}) = C$

получаем угол:

$\alpha = 2*C + \beta$

подставляем:

$sin(2*C + \beta) + sin(\beta) = a$

и опять - что дальше ?

Natrix · Сообщение **Natrix** » 25 май 2007, 01:03

Dubinsky писал(а):Source of the post
$\frac {\alpha - \beta} {2} = arctan(-\frac {a} {b})$

так как в арктангенсе числа, то и сам арктангенс - число, заменяем для удобства:

$arctan(-\frac {a} {b}) = C$

получаем угол:

$\alpha = 2*C + \beta$

подставляем:

$sin(2*C + \beta) + sin(\beta) = a$

и опять - что дальше ?

$2\sin(C+\beta)\sin C=a\\\sin(C+\beta)=\frac{a}{2\sin C}\\C+\beta=(-1)^n\arcsin{\frac{a}{2\sin C}}+2\p n, \text{ }n \in \mathbb{Z}$

Dubinsky · Сообщение **Dubinsky** » 25 май 2007, 14:09

огромное спасибо!
осталось только применить решение, если всё получится то я покажу зачем мне всё это нужно было

yourdomain.com