Знимательная задачка

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 17 май 2007, 01:41

Johan писал(а):Source of the post
AV_77 писал(а):Source of the post
Johan писал(а):Source of the post
Надо найти количество всех решений системы уравнений
$\sin^2 x - 4 \cos^2 y+\frac {3xy} {4\pi^2}=0, \\ 2 \sin y - \cos x=0$
при условии
$x\in(\frac {\pi} {2};\pi)$

У меня получилось 4 решения.

Пожалуйста, выложи решение. ответ верный

Сразу предупреждаю, что решение недостаточно обосновано.

Итак, из второго уравнения следует
$2 \sin y = \cos x, \\ 4 \sin^2 y = \cos^2 x, \\ 4 - 4\sin^2 y = 4 - \cos^2 x, \\ 4 \cos^2 y = 3 + \sin^2 x, \\ \sin^2 x - 4 \cos^2 y = -3.$
Подставляем это в первое уравнение, получим (после сокращений)
$\frac{xy}{4\pi^2} = 1$ или $x = \frac{4\pi^2}{y}.$

Теперь, когда x изменяется в интервале $\left( \frac{\pi}{2}, \; \pi \right)$ y изменяется в интервале $(4\pi, \; 8\pi)$ .
Рассмотрим (непрерывную) в этом интервале функцию $f(y) = 2 \sin y - \cos \frac{4\pi^2}{y}$ .
Имеем:
$f(4\pi) = 0, \\ f(\frac{9\pi}{2}) > 0, \\ f(5\pi) > 0, \\ f(\frac{11\pi}{2}) < 0, \\ f(6\pi) > 0, \\ f(\frac{13\pi}{2}) > 0, \\ f(7\pi) > 0, \\ f(\frac{15\pi}{2}) < 0, \\ f(8\pi) > 0.$
Следовательно, функция f(y) имеет корни в интервалах $\left(5\pi, \; \frac{11\pi}{2} \right), \quad \left( \frac{11\pi}{2}, \; 6\pi \right), \quad \left( 7\pi, \; \frac{15\pi}{2} \right), \quad \left(\frac{15\pi}{2}, \; 8\pi \right).$

Теперь предпологаем, что на каждом подинтервале интервала $(4\pi, \; 8\pi)$ функция изменяется монотонно. Вообще это надо доказывать, но как - я сразу не соображу, производная получается какой-то жуткой. Тогда на каждом из указанных интервалах у нас будет один корень. A всего - 4 корня.

Johan · Сообщение **Johan** » 18 май 2007, 00:31

Помогите найти количество всех решений системы.

$$x^2-3xy+2y^2+x-2=0$$

$\sqrt{x-y-1}+\sqrt{3y-x}=8-y$

Заранее спасибо. И за прошлую систему AV_77 отдельное спасибо!

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 18 май 2007, 01:10

Johan писал(а):Source of the post
Помогите найти количество всех решений системы.

$\sqrt{x-y-1}+\sqrt{3y-x}=8-y$

Заранее спасибо. И за прошлую систему AV_77 отдельное спасибо!

Решив получаем
$x_1=6;y_1=5\\x_2=14;y_2=13$
так как надо сделать проверку (мы избавлялись от корней), получаем, что второе решение не верно!!
Значит остаётся только первое решение!!!

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 18 май 2007, 01:15

Johan писал(а):Source of the post
Помогите найти количество всех решений системы.

$\sqrt{x-y-1}+\sqrt{3y-x}=8-y$

Заранее спасибо. И за прошлую систему AV_77 отдельное спасибо!

Попробуй начать так.
Сделав замену $$ t = 2x - 3y $$

первое уравнение можно привести к виду
$$ (t+1)^2 - (y-3)^2 = 0. $$

Дальше должно быть не очень сложно.

Johan · Сообщение **Johan** » 18 май 2007, 16:01

andrej163 писал(а):Source of the post
Johan писал(а):Source of the post
Помогите найти количество всех решений системы.

$\sqrt{x-y-1}+\sqrt{3y-x}=8-y$

Заранее спасибо. И за прошлую систему AV_77 отдельное спасибо!

Решив получаем
$x_1=6;y_1=5\\x_2=14;y_2=13$
так как надо сделать проверку (мы избавлялись от корней), получаем, что второе решение не верно!!
Значит остаётся только первое решение!!!

приавильный ответ - 2 решения!

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 18 май 2007, 20:46

Johan писал(а):Source of the post
приавильный ответ - 2 решения!

Решение я уже почти написал!

AV_77 писал(а):Source of the post
Попробуй начать так.
Сделав замену первое уравнение можно привести к виду

Дальше должно быть не очень сложно.

Нужно только закончить! Получите как раз два решения. Неужели сложно!?

Johan · Сообщение **Johan** » 18 май 2007, 21:39

AV_77 писал(а):Source of the post
Johan писал(а):Source of the post
приавильный ответ - 2 решения!

Решение я уже почти написал!

AV_77 писал(а):Source of the post
Попробуй начать так.
Сделав замену первое уравнение можно привести к виду

Дальше должно быть не очень сложно.

Нужно только закончить! Получите как раз два решения. Неужели сложно!?

Нет, я доделал. Большое спасибо.
Просто у Андрея получился 1 корень, что является ошибкой. вот я ему и пишу+)

yourdomain.com