Есть примеры

mrMoRiC · Сообщение **mrMoRiC** » 09 янв 2007, 17:48

Кстати, появился вопрос по формулам:

можно ли sinA как-нибудь приобразовать в sinA/2 или в cosA/2,
то есть неважно в sin или cos глано, чтобы аргумент понизить в 2 раза.

По учебникам нашёл лишь формулы для косинуса:

1+cosA = 2cos^2(A/2)
1-cosA=2sin^2(A/2)

для синуса почему-то нет, a без этого пример решить не могу

Natrix · Сообщение **Natrix** » 09 янв 2007, 20:25

mrMoRiC писал(а):Source of the post
Кстати, появился вопрос по формулам:

можно ли sinA как-нибудь приобразовать в sinA/2 или в cosA/2,
то есть неважно в sin или cos глано, чтобы аргумент понизить в 2 раза.

По учебникам нашёл лишь формулы для косинуса:

1+cosA = 2cos^2(A/2)
1-cosA=2sin^2(A/2)

для синуса почему-то нет, a без этого пример решить не могу

Понижай через тангенс половинного угла.
$\sin{2\alpha}=\frac{2tg\alpha}{1+tg^2\alpha}$
$\cos{2\alpha}=\frac{1-tg^2\alpha}{1+tg^2\alpha}$
$tg{2\alpha}=\frac{1+tg^2\alpha}{1-tg^2\alpha}$

A затем, c помощью замены $u=tg\alpha$ сведешь задачу к преобразованиям рациональных дробей.

Natrix · Сообщение **Natrix** » 09 янв 2007, 21:25

mrMoRiC писал(а):Source of the post
Что больше:
5log[2]15-3log[2]10 или 4?

[2] - основание логарифма
Как вам такое решение этого примера?
Решение:

5log[2]15-3log[2]10 =
= log[2]15^5 - log[2]10^3 =
= log[2]15^5/10^3 =
= log[2] (3^5*5^2) / 2^3
из последней строки видно, что выражение c логарифмом больше чем 4.

p.s.: может есть более красивое решение?

Вот ещё пример.
Дано:

При каких целых значениях "a" уравнение 2 ^ (2x+1) - 2^(x+2) = a имеет два различных действительных корня?

Мой ответ: a>-2, где a принадлежит целым числам.
Что получается у вас?

Первую задачу я решал бы так:
Определим знак выражения $5\log_{2}{15}-3\log_{2}{10}-4$
$5\log_{2}{15}-3\log_{2}{10}-4=\log_{2}{\frac{15^5}{10^{3}*2^{4}}}=\log_{2}{\frac{3^{5}*5^{5}}{2^{7}*5^{3}}}$
Выражение будет больше нуля, если дробь под знаком логарифма будет больше 1.
$\frac{3^{5}*5^{5}}{2^{7}*5^{3}}=\frac{3^{5}*5^{2}}{2^{7}}>\frac{3^{5}*3^{2}}{2^{7}}=({\frac{3}{2}})^7>1$

Вторая задача решается так:
$2^{2x+1}-2^{x+2}=a$
Заменим переменную: $$t=2^x$$

Получим: $2t^{2}-4t-a=0$

$D=16+8a>0 \right a>-2$

До сих пор мы, видимо, решали одинаково. Ho вот дальше...
Для того, чтобы первоначальное уравнение имело два действительных корня, в получившемся квадратном уравнении мало того, что дискриминант должен быть положительным, положительными должны быть и оба корня:
$t_{1}=\frac{4+\sqrt{16+8a}}{4}$ всегда положителен. A вот второй корень $t_{2}=\frac{4-\sqrt{16+8a}}{4}$ положителен не всегда.
Наложим условие $t_{2}=\frac{4-\sqrt{16+8a}}{4}>0$

$\frac{4-\sqrt{16+8a}}{4}>0 \right 4-\sqrt{16+8a}>0 \right \sqrt{16+8a}<4 \right 16+8a<16 \right a<0$
Итак, $$ -2<a<0$$

и $a \in \mathbb{Z}$ Следовательно $$ a=-1$$

mrMoRiC · Сообщение **mrMoRiC** » 10 янв 2007, 06:19

Да вы правы. Наверно я неправильно вспомнил определение действительных чисел.

Можете написать? Я пользовался при решении таким: Действительны числа - рациональные и иррациональные числа вместе. Ho неужели дейсивительные всегда положительны, то есть -1 - уже недействительное? A какое тогда?

Natrix · Сообщение **Natrix** » 10 янв 2007, 10:10

mrMoRiC писал(а):Source of the post
Да вы правы. Наверно я неправильно вспомнил определение действительных чисел.

Можете написать? Я пользовался при решении таким: Действительны числа - рациональные и иррациональные числа вместе. Ho неужели дейсивительные всегда положительны, то есть -1 - уже недействительное? A какое тогда?

B задаче-то речь идет o целых числах.

mrMoRiC · Сообщение **mrMoRiC** » 10 янв 2007, 11:54

Стоп! Натуральные не могут быть отрицательными, a целые помоему могут? я не прав?

barmaley · Сообщение **barmaley** » 10 янв 2007, 12:52

[url=http://e-science.ru/math/theory/?c=15]http://e-science.ru/math/theory/?c=15[/url]

mrMoRiC · Сообщение **mrMoRiC** » 10 янв 2007, 13:30

Множество целых отрицательных чисел, множество целых положительных чисел и число нуль вместе называются множеством целых чисел

mrMoRiC · Сообщение **mrMoRiC** » 11 янв 2007, 09:31

1).

Natrix писал(а):Source of the post
Пусть искомое выражение равно х. Тогда Для полного счастья умножим обе части на и возьмем от обеих частей логарифм по основанию 14:
$70^x=56*2^x => 14^x*5^x=7^x*2^{(x+3)} => \log_{14}{(14^x*5^x)}=\log_{14}{(7^x*2^{(x+3)})}$ A теперь логарифмируем:
$\log_{14}{14^x}+\log_{14}{5^x} = \log_{14}{7^x}+\log_{14}{2^{(x+3)}}$ Упрощаем дальше:
$x+x*\log_{14}{5}=x*\log_{14}{7}+(x+3)*\log_{14}{2}$
Еще упростим исходя из условия:
$x+x*b=x*a+(x+3)*\log_{14}{2}$
Осталась мелочь:
Если $\log_{14}{7}=a$ $=> \log_{7}{14}=\frac{1}{a} =>$ $1+\log_{7}{2}=\frac{1}{a} =>$
$\log_{7}{2}=\frac{1}{a}-1 =>\log_{7}{2}=\frac{1-a}{a} => \log_{2}{7}=\frac{a}{1-a} => \log_{2}{7}+1=\frac{a}{1-a}+1 => log_{2}{14}=\frac{1}{1-a} => \log_{14}{2}=1-a$
Ну, a далее все просто:

Поиск х - самостоятельно. пожалуйста

Окей. Выразил я

$x= \frac {3*(1-a)} {b}$

т.e.:

$\log_{35}{56}= \frac {3*(1-\log_{14} {7})} {\log_{14} {5}}$

упрощаем:

$\log_{35}{56}= \frac {3*(1- \frac {1} {2})} {\log_{14} {5}}$

$\log_{35}{56}= \frac {3} {2 * \log_{14} {5}}$

$\log_{35}{56}= 3 * \log_{25} {14}$

$\log_{35}{56}=\log_{25} {14^3}$

но выражения не равны, или я неправильно посчитал?

2).

B задаче-то речь идет o целых числах.

Множество целых отрицательных чисел, множество целых положительных чисел и число нуль вместе называются множеством целых чисел

Значит, всё-таки ваша проверка на отрицательный корень излишня.

mrMoRiC · Сообщение **mrMoRiC** » 11 янв 2007, 10:37

3). Вычислить
$\frac {1+sin18 - cos^2 36} {2cos^2 36} + \frac {1} {4}$

Я смог привести этот пример к виду:

$\frac {1} {(1-4sin^2 18) * (1-2sin18)} - \frac {1} {4}$
Ho дальше ничего придумать не могу...

yourdomain.com