Небольшой вопрос по логарифмам

Yoh · Сообщение **Yoh** » 08 янв 2007, 01:01

2*log(x+3)<=log(x^2) B основаниях логарифмов 3. Какие условия будут накладыватся? Проблема у меня в том, что log(x^2) можно записать так: 2*log(x), тогда условие будет таким: x>0. Объясните мне как правильно определять условия в таких случаях. Спасибо.

Natrix · Сообщение **Natrix** » 08 янв 2007, 01:30

Yoh писал(а):Source of the post
2*log(x+3)<=log(x^2) B основаниях логарифмов 3. Какие условия будут накладыватся? Проблема у меня в том, что log(x^2) можно записать так: 2*log(x), тогда условие будет таким: x>0. Объясните мне как правильно определять условия в таких случаях. Спасибо.

Изначально условие $$ x+3>0$$

и

Замена $\log_{3}{(x^2)}$ на $2\log_{3}{x}$ приводит к возможной потере значений из интервала (-3;0]
Вообще-то нормальная замена:
$\log_{3}{(x^2)}=2\log_{3}\left|x\right|$

Yoh · Сообщение **Yoh** » 08 янв 2007, 01:38

По правилам ведь можно делать, как я показал. Поэтому у меня и возник такой вопрос. Спасибо.

Natrix · Сообщение **Natrix** » 08 янв 2007, 02:08

Yoh писал(а):Source of the post
По правилам ведь можно делать, как я показал. Поэтому у меня и возник такой вопрос. Спасибо.

Нельзя!

Yoh · Сообщение **Yoh** » 08 янв 2007, 19:20

cos(p*x)=log{3}{(6x-x^2)/27} После преобразований получаю 3^(cos(p*x)+3)=6x-x^2 Как дальше делать? Подскажите или приведите разобранный пример подобного уравнения? Можно просто подсказать, каким путем идти. p - число пи. У меня подобных уравнений нет, да же неразобранных Спасибо.

Natrix · Сообщение **Natrix** » 08 янв 2007, 20:01

Yoh писал(а):Source of the post
cos(p*x)=log{3}{(6x-x^2)/27} После преобразований получаю 3^(cos(p*x)+3)=6x-x^2 Как дальше делать? Подскажите или приведите разобранный пример подобного уравнения? Можно просто подсказать, каким путем идти. p - число пи. У меня подобных уравнений нет, да же неразобранных Спасибо.

Рассмотрим правую часть:
Условие первое: выражение под логарифмом должно быть положительным:
$\frac{6x-x^2}{27}>0$
Вся правая часть по модулю не превышает 1, ведь она равна косинусу некоего угла:
$\right|log_{3}\frac{6x-x^2}{27}\left|<=1$
Из первого неравенства получаем : $$0<x<6$$

Из второго:
$\frac{1}{3}<=\frac{6x-x^2}{27}<=3$
Или система неравенств:
$\{{\frac{6x-x^2}{27}>=\frac{1}{3}}\\{\frac{6x-x^2}{27}<=3}$
Преобразуем систему:
$\{{x^2-6x+9<=0}\\{x^2-6x+81>=0}$
Легко видеть, что первое неравенство имеет место только в точке $$x=3$$

, a второе - при любом х. C учетом того, что $(x=3) \in ]0;6[$ , получаем ответ $$x=3$$

.

Yoh · Сообщение **Yoh** » 08 янв 2007, 20:24

Спасибо.

Yoh · Сообщение **Yoh** » 09 янв 2007, 01:37

[quote=leonid в t101698 (deleted)]
Здесь cos(p*x) так как cos переодическая функция то это надо учитывать..здесь может быть 2 значения 1 при х четном(0,2), -1 при х нечетном(1,3).-1 отпадает.Получаем ТОЛЬКО 1.Поэтому в первом уравнении системы =0,a не меньше равно.Случайно есть одна точка иначе бы получили посторонние решения.Инеобходимо проверить что х четное.3 нечетное cos(p*3)=-1.У меня получилось что решения нет.
[/quote]
Ответ должен быть обязательно.

Yoh · Сообщение **Yoh** » 09 янв 2007, 02:21

Неравенство cos(p*x)>=0? Если его добавить, то получим, что нет решений, т.к. cos(3*p)=-1.

Yoh · Сообщение **Yoh** » 09 янв 2007, 03:17

A почему логарифм должен быть больше или равен 0? Ведь степень может быть отрицательной. Проверил все получилось cos(3*p)=log{3}{1/3}
-1=-1

yourdomain.com