Как доказать что корень из 2-х иррациональное число?

Александр Амелькин

Как доказать что $\sqrt2$ иррациональное число?

zam2 · Сообщение **zam2** » 10 авг 2014, 15:26

Александр Амелькин писал(а):Source of the post Как доказать что $\sqrt2$ иррациональное число?

Допустим противное: $\sqrt{2}$ рационален, то есть представляется в виде дроби $\frac{m}{n}$ , где $$m$$

— целое число, а $$n$$

— натуральное число. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
$\sqrt{2} = \frac{m}{n} \Rightarrow 2 = \frac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2 = 2n^2$ .
Так как $$m^2$$

содержит чётное число двоек, а $$2n^2$$

— нечётное число двоек, равенство $$m^2=2n^2$$

невозможно. Значит, исходное предположение было неверным, и $\sqrt{2}$ — иррациональное число.
Из: Вики.

frim_ax · Сообщение **frim_ax** » 10 авг 2014, 16:37

А если так?
$c^2=\frac {m^2} {n^2}$

$c^2=\frac {m_0^2*m_1^2..m_n^2} {n_0^2*m_1^2..m_n^2}$

Если $$c^2$$

- целое число, то знаменатель можно сократить.

$$c^2=m_0^2*m_1^2..m_n_1^2$$

2 - целое число, но простое, т.е. его нельзя представить как произведение целых чисел.
Следовательно, корень из 2 - иррациональное число.

zam2 · Сообщение **zam2** » 10 авг 2014, 18:05

frim_ax писал(а):Source of the post А если так?
$c^2=\frac {m^2} {n^2}$
$c^2=\frac {m_0^2*m_1^2..m_n^2} {n_0^2*m_1^2..m_n^2}$
Если - целое число, то знаменатель можно сократить.

2 - целое число, но простое, т.е. его нельзя представить как произведение целых чисел.
Следовательно, корень из 2 - иррациональное число.

А в чем разница?
Ну, давайте так перепишем.
Пусть $\sqrt{2}=\frac {m} {n}$ .
Тогда $2=\frac {m^2} {n^2}$ .
То есть, в представлении числа $$m^2$$

в виде произведения простых сомножителей на одну двойку больше, чем в представлении числа $$n^2$$

. Поэтому, либо в представлении $$m^2$$

нечетное число двоек, либо в представлении $$n^2$$

нечетное число двоек. Но в представлении квадрата натурального числа не может быть нечетного числа двоек. Противоречие.

Думаю, важно подчеркнуть, что в любом доказательстве используется неявно основная теорема арифметики, доказательство которой совсем не так банально.

balans · Сообщение **balans** » 10 авг 2014, 18:13

Здравия Вам желаю.

Александр Амелькин писал(а):Source of the post
Как доказать что $\sqrt2$ иррациональное число?

В. А. Успенский. Простейшие примеры математических доказательств на странице 17.

Если что сам сайт...

ARRY · Сообщение **ARRY** » 10 авг 2014, 20:29

Любопытно, а существует ли прямое доказательство иррациональности $\sqrt{2}$ ?

Dragon27 · Сообщение **Dragon27** » 10 авг 2014, 20:39

Перечислить все дроби?

ARRY · Сообщение **ARRY** » 10 авг 2014, 21:04

ARRY писал(а):Source of the post
Любопытно, а существует ли прямое доказательство иррациональности $\sqrt{2}$ ?

Dragon27 писал(а):Source of the post
Перечислить все дроби?

Не, ну не до такой же степени.
Я имею в виду доказательство без использования основной теоремы арифметики, которая предполагает доказательство от противного.
Я имею в виду именно прямое доказательство.
Может быть как-то использовать десятичное приближение чисел.
Ведь десятичное приближение рационального числа - само это число, а десятичное приближение иррационального числа рациональным возможно с любой заданной точностью.
Я не знаю, возможно ли доказательство на основе этого. Только идея.

bot · Сообщение **bot** » 11 авг 2014, 02:34

ARRY писал(а):Source of the post
Я имею в виду доказательство без использования основной теоремы арифметики

А она там и не нужна, нужен лишь обрыв убывающих цепей. Пусть $\sqrt 2=\frac pq$ , где $$p$$

и

взаимно просты, иначе дробь сократима ...

Александр Амелькин

Как плохо быть бестолковым. До того туго всё мне это доходит. Да всё это доказывать-передоказывать...

yourdomain.com