Задача на производную

Atom0 · Сообщение **Atom0** » 23 апр 2014, 12:32

Задача: Площадь треугольника 6. Найти наименьшую площадь квадрата, построенного на гипотенузе этого треугольника.
Решение: $$S=a^2$$

,

(c - гипотенуза), значит $S=\frac {1} {2}c^2$ .
Из треугольник (b,d - катеты): $$c^2=b^2+d^2$$

, значит $S=\frac {1} {2}(b^2+d^2)$ , но $$bd=12$$

, значит $S=\frac {1} {2}(b^2+\frac {144} {b^2})$ .
Теперь найду производную $S'=b-\frac {144} {b^3}$ , приравняв её к нулю найду, что минимальная площадь достигается в $b=\sqrt{\sqrt{144}}$ .
Подставив это в $S=\frac {1} {2}(b^2+\frac {144} {b^2})$ , получу 12. А в ответе 24.
Что не так?

zam2 · Сообщение **zam2** » 23 апр 2014, 13:07

Atom0 писал(а):Source of the post Что не так?

Кажется, вот здесь: (c - гипотенуза), значит $S=\frac {1} {2}c^2$ .
Вообще-то, $$S=c^2$$

.
Путано написано. Зачем буква $$a$$

?
Я лучше по-своему. $$a, b$$

- катеты.
$$S_{òð}=\frac {ab} {2} \\
S_{êâ}=a^2+b^2=a^2+\frac {4S_{òð}^2} {a^2}=a^2-4S_{òð} + \frac {4S_{òð}^2} {a^2}+4S_{òð}=(a-2S_{òð})^2+4S_{òð}.\\
S_{êâ.ìèí}=4S_{òð}=24.
$$

Atom0 · Сообщение **Atom0** » 23 апр 2014, 13:11

А почему площадь квадрата находится как сумма квадратов сторон (это же просто гипотенуза)?

zam2 · Сообщение **zam2** » 23 апр 2014, 13:26

Atom0 писал(а):Source of the post А почему площадь квадрата находится как сумма квадратов сторон (это же просто гипотенуза)?

Потому что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Atom0 · Сообщение **Atom0** » 23 апр 2014, 13:29

Потому что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Всё ясно. Спасибо!

yourdomain.com