Сумма степеней натуральных чисел.

geh · Сообщение **geh** » 13 дек 2013, 07:42

Дано:

$1^1+2^1+ ... +n^1=\frac{n(n+1)}{2}$
$1^2+2^2+ ... +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$1^3+2^3+ ... +n^3={(\frac{n(n+1)}{2})}^2$
интересно, что
$1^3+2^3+ ... +n^3={(1+2+ ... +n)}^2$
можно продолжить и далее
$$1^m+2^m+ ... +n^m=nf(n)$$

где f(n) - многочлен степени m
Вопрос: можно ли этот многочлен записать
в общем виде?

Albe · Сообщение **Albe** » 13 дек 2013, 14:37

Почитайте Здесь.

Ian · Сообщение **Ian** » 13 дек 2013, 20:31

geh писал(а):Source of the post

где f(n) - многочлен степени m
Вопрос: можно ли этот многочлен записать
в общем виде?

Встречный вопрос: верно ли, что у этого многочлена m действительных корней и все они на отрезке [-1;0]?
И если сможете, найдите эти корни)

Треугольную матрицу коэффициентов таких многочленов можно записать как функцию матриц, у которых элементы задаются явными формулами, найдите как

Докажите тождество $$zf(z)-(z-1)f(z-1)=z^m$$

и придумайте, как его еще использовать

Ну а потом можно и поговорить)

Ian · Сообщение **Ian** » 14 дек 2013, 07:26

Ian писал(а):Source of the post
Докажите тождество и придумайте, как его еще использовать

Лучше бы сразу обозначить $$zf(z)=S_m(z)$$

- многочлен степени m+1
Выведите отсюда тождество
$S_m'(z)-mS_{m-1}(z)=B_m$ -числам Бернулли
Тогда $S_m(z)=\int_0^z(mS_{m-1}(z)+B_m)dz$ -как видите, зная числа Бернулли, легко последовательно считать полиномы целиком.
Но про корни поинтереснее, я видел что-то об этом, со Стилтьесом связанное, но не нахожу.

yourdomain.com