Задание с параметром

GrandCub · Сообщение **GrandCub** » 10 сен 2013, 17:49

При каких значениях $$a$$

уравнение имеет ровно три корня?
$$(a^3+8)x^4+(a^2-1)x^2+a+|a|=0$$

Неясен алгоритм действий. Скажем, если раскрывать модуль по определению: (a³+8)x⁴+(a²-1)x²+2a=0 и (a³+8)x⁴+(a²-1)x²=0. И что дальше? Если пытаться решить через дискриминант с помощью замены(x²=t) подобные уравнения, то ничего не выходит

bot · Сообщение **bot** » 11 сен 2013, 05:42

1) Если раскрывать модуль по определению, то возникает два случая $$a>0$$

и $a\leqslant 0$ . Для начала рассмотрите второй случай - он проще.

2) Посмотрите, как я отредактировал Вашу формулу, правда красиво? Как это сделать, можно посмотреть здесь: тык

geh · Сообщение **geh** » 13 дек 2013, 13:53

Это уравнение имеет ровно три корня если один корень двукратный и
$a\not=-2$ . В противном случае мы имеем квадратное уравнение. Очевидно,
что при a+|a|=0 есть такая возможность. То есть $a\le0$ .
И далее имеем $$(a^3+8)x^4+(a^2-1)x^2=0$$

Но $a\not=-1$ в противном случае у нас будет всего один корень
итак ответ:
$a\le0, a\not=-1, a\not=-2$

Albe · Сообщение **Albe** » 13 дек 2013, 14:32

geh писал(а):Source of the post
Это уравнение имеет ровно три корня если один корень двукратный и
$a\not=-2$ . В противном случае мы имеем квадратное уравнение. Очевидно,
что при a+|a|=0 есть такая возможность. То есть $a\le0$ .
И далее имеем
Но $a\not=-1$ в противном случае у нас будет всего один корень
итак ответ:
$a\le0, a\not=-1, a\not=-2$

Точнее, значения $a \in [-2,-1]$ не входят также в ответ.

geh · Сообщение **geh** » 14 дек 2013, 11:32

geh · Сообщение **geh** » 14 дек 2013, 11:44

Да, вы совершенно правы. В своем решении я исходил из того, что
корни разные, в том числе и комплексные. Совсем забыл, что это
в школе не изучают. Если наложить ограничение, что корни действительные
получим ответ: $$ a<-2 $$

и $-1<a\le0$

yourdomain.com