упрощение выражения

МяТа · Сообщение **МяТа** » 18 дек 2011, 20:10

подскажите,как решить,не приводя к общему знаменателю.
Скорее всего,краткое решение должно быть связано с теорией многочленов,но не могу придумать,как..
$\frac{a^3}{(a-b)(a-c)(a-d)} + \frac{b^3}{(b-a)(b-c)(b-d)} + \frac{c^3}{(c-a)(c-b)(c-d)} + \frac{d^3}{(d-a)(d-b)(d-c)}$

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 19 дек 2011, 06:06

Хе, прикольно!
Метод кустарный, но работает.
Предположим, что мы привели к общему знаменателю. Значит мы получим дробь, в знаменателе многочлен 6-й степени, а в числителе - не более, чем в 6-й. Знаменатель очевиден - дискриминант: $$(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)$$

.
Выясним, являются ли множества $a=b, a=c, \ldots$ множествами разрыва. Дело в том, что если $a=b, a=c, \ldots$ - не множества разрыва, то значит числитель сокращается на $b-a, c-a, \ldots$ (устранимое множество разрыва 1-го рода). Берем, например, $$a=c$$

. Тогда можно отбросить 2,4-ое слагаемые, а 1-е, 3-е привести все-таки аккуратно к общему знаменателю, и увидеть (обязательно выполните преобразования! ибо Вы еще не видели

), что оно там сокращается. Потом по симметрии перенести свои соображения на все множители $x_i - x_j, i \neq j, x_i, x_j \in \{ a;b;c;d\}$ .
Ну и дальше понятно

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 19 дек 2011, 07:54

Это очевидно тема-тождественные преобразования, которые решаются в школе, поэтому ни о каких точках разрыва говорить не приходится. Надо просто аккуратно привести к общему знаменателю, при этом учесть . что сомножители повторяются с другим знаком, поэтому в общем знаменателе их будет только 6. Потом провести сокращения в числителе.

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 19 дек 2011, 08:30

32 слагаемых в числителе - слишком много. Их же не просто надо привести. а еще и сгруппировать потом.
О точках разрыва можно не говорить, а подумать и промолчать

, а при решении якобы опираться на некую интуицию.
Лучше научиться упрощать такие штуки быстро с помощью больших полушарий, а не мозжечка. Заодно можно узнать пару-тройку теорем, о которых фиг где прочтешь.

kiv · Сообщение **kiv** » 19 дек 2011, 08:39

МяТа писал(а):Source of the post
подскажите,как решить,не приводя к общему знаменателю.
Скорее всего,краткое решение должно быть связано с теорией многочленов,но не могу придумать,как..
$\frac{a^3}{(a-b)(a-c)(a-d)} + \frac{b^3}{(b-a)(b-c)(b-d)} + \frac{c^3}{(c-a)(c-b)(c-d)} + \frac{d^3}{(d-a)(d-b)(d-c)}$

Тот случай, когда проще не думать

Код: Выбрать все

In[1]:= Simplify[a^3/((a - B) (a - c) (a - d)) + b^3/((b - a) (b - c) (b - d)) + 
 c^3/((c - a) (c - B) (c - d)) + d^3/((d - a) (d - B) (d - c))]

Out[1]= 1

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 19 дек 2011, 08:43

kiv писал(а):Source of the post Тот случай, когда проще не думать

Ни фига! Я выше привел решение, состоящее практически из одного бла-бла-бла. :acute:

Кстати, можно еще короче: вычисляем группу симметрии числителя и видим, что это $$A_4$$

. Учитывая степень числителя получаем, что он делится на дискриминант. Все. (ну и константу остается найти отдельно - это легко)

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 19 дек 2011, 12:24

Автору нужно не бла-бла в решении указывать, а показать свой навык безошибочного выполнения тождественных преобразований.

MrDindows · Сообщение **MrDindows** » 19 дек 2011, 18:30

vicvolf писал(а):Source of the post
Автору нужно не бла-бла в решении указывать, а показать свой навык безошибочного выполнения тождественных преобразований.

Почитайте пост автора. МяТик спрашует, "как решить,не приводя к общему знаменателю.".
А вы советуете привести к общему знаменателю...

yourdomain.com