Показательное уравнение с параметром и система показательных уравнений и неравенств

musika · Сообщение **musika** » 15 дек 2011, 20:04

Добрый вечер, уважаемые форумчане! Уже 2 часа думаю, не знаю, что делать с этой системой:

Вроде бы всё просто, но как дальше преобразовывать?
И ещё вопрос. Верно ли я решила (хоть и не до конца) следующее задание:

Непонятна ситуация с 1 корнем... как-то совсем нет мыслей на эту тему.
Пожалуйста, подскажите мне, в чём ошибки? Что можно сделать? Спасибо огромное!

MrDindows · Сообщение **MrDindows** » 15 дек 2011, 21:03

Второе...полностью не верно(
Основная ошибка в том, что вы полученное квадратное уравнение не дорешали до конца, а вместо этого, непонятно зачем, подставляли какие-то значения вместо $$a$$

.
Логика решения должна быть такова:
1) Корней у исходного уравнения нету. В том случае если, либо дискриминант отрицательный, либо оба корня квадратного уравнения отрицательные. ( если $$ t$$

- не положителен, то у уравнения $$3^x=t$$

корней нету)
2) Два корня. В том случае, если дискриминант положительный, и оба корня квадратного уравнения положительны.
3)Один корень - во всех остальных случаях.

Так же, можно упростить решение, ведь функция $$9^x+3^x$$

возрастающая, а значит у уравнения $$9^x+3^x=a$$

не может быть больше 1 корня.

Таланов

В первой задаче первое уравнение системы преобразуется до $xy = \frac {1}{3(1-\log_310)}$

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 16 дек 2011, 18:19

Решение 2-ого уравнения.
1. Если а=-1/4, то t=-1/2, так как показательная функция не может быть отрицательна. то решений нет.
2. Если а-1/4, то квадратное уравнение имее два корня, один из которых не подходит, так как он отрицательный, а показательная функция не может быть отрицательна. Поэтому в этом случае корень только один.
3. Если а-1/4, тогда квадратное уравнение не имеет действительных решений, а показательное корней.

musika · Сообщение **musika** » 17 дек 2011, 19:14

Виктор В, спасибо большое за помощь! Только я сомневаюсь, во втором ведь у вас а > -1/4 ? Спасибо!
MrDindows, спасибо, только вот я не очень понимаю, а если бы функция была убывающей, то ведь она бы тоже имела только один корень? Или нет? В учебнике смотрела, не нашла адекватного объяснения
Таланов, спасибо за подсказку, но я, честно говоря, не очень поняла, как вы так преобразовали. Вот только до такого дошла:

Извините, что так туплю... :rolleyes: И если уж говорить открыто, то ваше полученное уравнение я тоже не очень понимаю, как решать..
Вот всё, что смогла:
$xy=\frac{1}{3(1-\log_{3}10)}=\frac{1}{3-3\log_{3}10}=\frac{1}{3-\log_{3}10^3}=\frac{1}{3-\log_{3}1000}$
Дальше совсем ничего((

MrDindows · Сообщение **MrDindows** » 17 дек 2011, 19:18

musika писал(а):Source of the post
MrDindows, спасибо, только вот я не очень понимаю, а если бы функция была убывающей, то ведь она бы тоже имела только один корень? Или нет? В учебнике смотрела, не нашла адекватного объяснения

Да. Всё верно. Главное что она - монотонная.
Если бы она не была монотонной, то есть то возростала, то убывала, то могло быть и 2 и больше корней.

musika · Сообщение **musika** » 17 дек 2011, 19:25

MrDindows, спасибо большое, теперь понятно!

musika · Сообщение **musika** » 17 дек 2011, 20:25

Таланов, до меня похоже дошло, как это решать (но я всё ещё в замешательстве, как преобразовывать! ):
$xy=\frac{1}{3-\log_{3}1000}=\frac{1}{\log_{3}27-\log_{3}1000}=\frac{1}{\log_{3}0,027}$ . Отсюда по основному логарифмическому тождеству: $3^{\log_{3}0,027}=0,027$ , => $xy=\frac{1}{0,027}=37_{27}^{1}$ .
Проверьте меня, пожалуйста, кто-нибудь!

MrDindows · Сообщение **MrDindows** » 17 дек 2011, 20:37

musika писал(а):Source of the post
Таланов, до меня похоже дошло, как это решать (но я всё ещё в замешательстве, как преобразовывать! ):
$xy=\frac{1}{3-\log_{3}1000}=\frac{1}{\log_{3}27-\log_{3}1000}=\frac{1}{\log_{3}0,027}$ . Отсюда по основному логарифмическому тождеству: $3^{\log_{3}0,027}=0,027$ , => $xy=\frac{1}{0,027}=37_{27}^{1}$ .
Проверьте меня, пожалуйста, кто-нибудь!

Нет=) Тождество то оно верно, но подставлять вам его никак нельзя) у вас же в тождестве - тройка в степени логарифм..., а в дроби только логарифм)

Вы же уже вывели из второго уравнения системы, что $$ x+y=-7 $$

. Выразите отсюда $$ y$$

через икс и подставьте в $xy=\frac{1}{3-\log_{3}1000}$ , и решите квадратное уравнение . Правую часть этого уравнения можно вообще заменить какой-то буковкой, чтоб не таскаться с нею.

Таланов

musika писал(а):Source of the post
Таланов, до меня похоже дошло, как это решать (но я всё ещё в замешательстве, как преобразовывать! ):
$xy=\frac{1}{3-\log_{3}1000}=\frac{1}{\log_{3}27-\log_{3}1000}=\frac{1}{\log_{3}0,027}$ .

Это верно. А в чём собственно помощь нужна?
$$x+y$$

известно.

- тоже.
Уравнения симметричны относительно $$x$$

и

. Для того чтобы разобраться "ху из ху " вам дано третье уравнение.

yourdomain.com