Вопросики по олимп. задачкам

Lunatik · Сообщение **Lunatik** » 17 июл 2011, 20:53

Вопросы будут появляться периодически:
1) Столкнулся с проблемой, решая задачу: Найти наименьший положительный корень уравнения $\{\tg(x)\}=\sin(x)$ Делал я её в лоб, переписал: $\tg(x)-1=\sin(x)$ (это логично,если целая часть =0, то корень будет 0, пи и т.д., берём целую часть =1). По универсальной подстановке свёл задачу к нахождению корня уравнения $$a^4+4a^3-1=0$$

, но ответ какой-то не олимпиадный... Скажите, что у меня не так?
2) Решал задачу, используя свойство то (не помню откуда оно), что если есть уравнение $$f(f(f(...(f(x))...)))=x$$

, и функция возрастает, то это уравнение сводится к $$f(x)=x$$

. Препод это решение не засчитал, подчеркнув это свойство... в чём может быть ошибка?

Ian · Сообщение **Ian** » 17 июл 2011, 21:38

Lunatik писал(а):Source of the post
2) Решал задачу, используя свойство то (не помню откуда оно), что если есть уравнение , и функция возрастает, то это уравнение сводится к . Препод это решение не засчитал, подчеркнув это свойство... в чём может быть ошибка?

Еще например $f(x)=-\frac 1x$

MrDindows · Сообщение **MrDindows** » 17 июл 2011, 21:45

Lunatik писал(а):Source of the post
Вопросы будут появляться периодически:
1) Столкнулся с проблемой, решая задачу: Найти наименьший положительный корень уравнения $\{\tg(x)\}=\sin(x)$ Делал я её в лоб, переписал: $\tg(x)-1=\sin(x)$ (это логично,если целая часть =0, то корень будет 0, пи и т.д., берём целую часть =1). По универсальной подстановке свёл задачу к нахождению корня уравнения , но ответ какой-то не олимпиадный... Скажите, что у меня не так?
2) Решал задачу, используя свойство то (не помню откуда оно), что если есть уравнение , и функция возрастает, то это уравнение сводится к . Препод это решение не засчитал, подчеркнув это свойство... в чём может быть ошибка?

1) У меня получилось такое уравнение:
$$a^4+2a^3+a^2-2a-1=0$$

Но корень в принципе красивее не стал)
$sin(x)=a=\frac{2}{\sqrt{5+4 \sqrt{2}}-1}$

Lunatik · Сообщение **Lunatik** » 18 июл 2011, 10:15

Еще например f(x)=-\frac 1x

Да, вы правы... а когда в таком случае можно применять это свойство? Может есть ещё какие-то ограничения? Или можете книжку посоветовать, где описано это свойство?

MrDindows, да, у вас всё верно... моё уравнение даёт тангенс половинного угла, поэтому я беру его арк., и умножаю на два... ваше же очевидно даёт весь угол... Есть ещё предложения?

Ian · Сообщение **Ian** » 18 июл 2011, 10:49

Lunatik писал(а):Source of the post
Еще например f(x)=-\frac 1x

Да, вы правы... а когда в таком случае можно применять это свойство?

инволютивность называется

Может есть ещё какие-то ограничения?

Если инволютивная функция определена и непрерывна на всей прямой, то она монотонна. И тогда она равна х или -х Видели в моем примере разрыв. Разрывных инволютивных функций полно разных. В книгах не видел, только в задачах. В общем Вы не так сильно ошибались в своем утверждении пост 1

Lunatik · Сообщение **Lunatik** » 18 июл 2011, 11:34

Правильно ли я понимаю, что свойство в посте 1 можно применять тогда и только тогда, когда функция непрерывна и определена на всей числовой прямой... причём тогда уравнение сводится к совокупности f(x)=x или f(x)=-x, так?

Lunatik · Сообщение **Lunatik** » 22 июл 2011, 11:06

Что-то вообще грустно... предлагаю следующую задачку:
Катеты прямоугольного треугольника выражаются натуральными числами. Известно, что этот же треугольник можно разбить на 365 равных треугольников. Найдите наименьшее возможные значения катетов?

P. S. Вопрос в предыдущем посте остаётся открытым.

MrDindows · Сообщение **MrDindows** » 22 июл 2011, 11:54

Lunatik писал(а):Source of the post
Что-то вообще грустно... предлагаю следующую задачку:
Катеты прямоугольного треугольника выражаются натуральными числами. Известно, что этот же треугольник можно разбить на 365 равных треугольников. Найдите наименьшее возможные значения катетов?

P. S. Вопрос в предыдущем посте остаётся открытым.

$\frac{x}{y}=\frac{19}{2}$
Или же
$\frac{x}{y}=\frac{14}{13}$
Тоесть (19;2), (14;13) -выбирайте наименьшее)

Lunatik · Сообщение **Lunatik** » 22 июл 2011, 12:08

А можете показать, как именно разбить-то нужно?

Ian · Сообщение **Ian** » 22 июл 2011, 12:41

Lunatik писал(а):Source of the post
Правильно ли я понимаю, что свойство в посте 1 можно применять тогда и только тогда, когда функция непрерывна и определена на всей числовой прямой... причём тогда уравнение сводится к совокупности f(x)=x или f(x)=-x, так?

Это утверждение верно(ИМХО), но строго его доказывать мне придется долго. Может, сначала обходным путем без него попробовать? Или оно само по себе интересно кому-то?

yourdomain.com