Ещё одно уравнение с заменой переменной

Таланов

modesto писал(а):Source of the post
Но всё же, как вы получили такой переход ?

Разложил на множители разность кубов $$t^3-2^3$$

и вынес за скобку общий множитель.

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 21 июл 2011, 16:30

В посте 10 мы пришли к кубическому уравнению $$t^3+t^2-2t-8=0$$

Я Вам говорил, что есть такая теорема Безу [url=http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%...E0_%C1%E5%E7%F3]http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%...E0_%C1%E5%E7%F3[/url]
У которой есть полезное следствие - Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
У нас как раз слева многочлен, удолетворяющий данным свойствам. Делители его свободного члена -+1,-1,+2,-2. Если их подставить в уравнение, то мы обнаружим, что t=2, как я писал в посте 10 является корнем кубического уравнения.
Теорема Безу утверждает что остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x − a равен P(a). Если а является корнем уравнения. то P(a)=0 и в этом случае P(x) делится на x − a без остатка. Следовательно надо разделить многочлен $$t^3+t^2-2t-8=0$$

на одночлен t-2. Делить многочлен на многочлен Вы умеете? Это делается вот так [url=http://ipo.spb.ru/iumk2/MATH_XXI-10/Module....2/M_1.2.2.html]http://ipo.spb.ru/iumk2/MATH_XXI-10/Module....2/M_1.2.2.html[/url]
После деления мы получаем действительно многочлен $$t^2+3t+4$$

и соответственно квадратное уравнение относительно t $$t^2+3t+4=0$$

Почему я столько пишу об этом, так как это действительно важный метод для решения уравнения со степенью 3 и выше, но к сожалению в школьном курсе ему уделено мало места. Конечно в данном случае можно делать, как сказано в посте 21, но в общем случае так не получится!
Дальше вы решаете квадратное уравнение и находите еще 2 решения t2 и t3, но они получаются комплексными, поэтому действительным решением является только t1=2.
Решая уравнение
$x+\frac {1} {x}=2$ мы получаем единственный действительный корень x=1. Надо добавить, что область изменения функции $x+\frac {1} {x}$ в действительной области (-бесконечность,-2], [2, +бесконечность).

modesto · Сообщение **modesto** » 21 июл 2011, 17:39

Таланов писал(а):Source of the post
modesto писал(а):Source of the post
Но всё же, как вы получили такой переход ?

Разложил на множители разность кубов и вынес за скобку общий множитель.

Теперь понял, спасибо.

vicvolf писал(а):Source of the post
В посте 10 мы пришли к кубическому уравнению
Я Вам говорил, что есть такая теорема Безу [url=http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%...E0_%C1%E5%E7%F3]http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%...E0_%C1%E5%E7%F3[/url]
У которой есть полезное следствие - Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
У нас как раз слева многочлен, удолетворяющий данным свойствам. Делители его свободного члена -+1,-1,+2,-2. Если их подставить в уравнение, то мы обнаружим, что t=2, как я писал в посте 10 является корнем кубического уравнения.
Теорема Безу утверждает что остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x − a равен P(a). Если а является корнем уравнения. то P(a)=0 и в этом случае P(x) делится на x − a без остатка. Следовательно надо разделить многочлен на одночлен t-2. Делить многочлен на многочлен Вы умеете? Это делается вот так [url=http://ipo.spb.ru/iumk2/MATH_XXI-10/Module....2/M_1.2.2.html]http://ipo.spb.ru/iumk2/MATH_XXI-10/Module....2/M_1.2.2.html[/url]
После деления мы получаем действительно многочлен и соответственно квадратное уравнение относительно t
Почему я столько пишу об этом, так как это действительно важный метод для решения уравнения со степенью 3 и выше, но к сожалению в школьном курсе ему уделено мало места. Конечно в данном случае можно делать, как сказано в посте 21, но в общем случае так не получится!
Дальше вы решаете квадратное уравнение и находите еще 2 решения t2 и t3, но они получаются комплексными, поэтому действительным решением является только t1=2.
Решая уравнение
$x+\frac {1} {x}=2$ мы получаем единственный действительный корень x=1. Надо добавить, что область изменения функции $x+\frac {1} {x}$ в действительной области (-бесконечность,-2], [2, +бесконечность).

Спасибо большое. По-поводу того, что данной теореме уделяется слишком мало времени в школьном курсе, должен не согласиться. В моей школе ей вовсе не уделялось внимание, так что я о ней услышал впервые на этом форуме:).

Ну а теперь я ещё весь следующий день буду разбираться с алгоритмом решения, который вы здесь описали. Хоть вы всё и изложили довольно подробно, но моему не тренированному уму придётся изрядно постараться, чтобы всё это усвоить.

BSK · Сообщение **BSK** » 22 июл 2011, 09:43

modesto писал(а):Source of the post Ну а теперь я ещё весь следующий день буду разбираться с алгоритмом решения, который вы здесь описали.

Оставьте немного времени, чтобы разобраться вот с этим

$\left( x^3 + \frac {1}{x^3} \right) +\left( x^2 + \frac {1}{x^2} \right)+ \left( x + \frac {1}{x}\right) = 6$
При $$x > 0$$

сумма в кажой скобке не меньше 2, поэтому есть только один положительный корень $$x=1$$

Отрицательных корней нет, т.к. при $$x < 0$$

левая часть отрицательна, что видно из
$\left( x^2 + \frac {1}{x^2} \right) \left(1 + \frac {1}{x}\right)+x+x^3 = 6$
$\left( x^2 + \frac {1}{x^2} \right) \left(1 + x\right)+\frac {1}{x}+\frac {1}{x^3} = 6$

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 22 июл 2011, 12:25

BSK писал(а):Source of the post
modesto писал(а):Source of the post Ну а теперь я ещё весь следующий день буду разбираться с алгоритмом решения, который вы здесь описали.

Оставьте немного времени, чтобы разобраться вот с этим
$\left( x^3 + \frac {1}{x^3} \right) +\left( x^2 + \frac {1}{x^2} \right)+ \left( x + \frac {1}{x}\right) = 6$
При сумма в кажой скобке не меньше 2, поэтому есть только один положительный корень

Это действительно так, но требует у ТС также времени для доказательства

Таланов

modesto писал(а):Source of the post
vicvolf писал(а):Source of the post
Я Вам говорил, что есть такая теорема Безу

Спасибо большое. По-поводу того, что данной теореме уделяется слишком мало времени в школьном курсе, должен не согласиться. В моей школе ей вовсе не уделялось внимание, так что я о ней услышал впервые на этом форуме:).

Я тоже о ней ничего не знаю. Но ведь удалось решить вашу задачу.

modesto · Сообщение **modesto** » 22 июл 2011, 16:12

Таланов писал(а):Source of the post
modesto писал(а):Source of the post
vicvolf писал(а):Source of the post
Я Вам говорил, что есть такая теорема Безу

Спасибо большое. По-поводу того, что данной теореме уделяется слишком мало времени в школьном курсе, должен не согласиться. В моей школе ей вовсе не уделялось внимание, так что я о ней услышал впервые на этом форуме:).

Я тоже о ней ничего не знаю. Но ведь удалось решить вашу задачу.

Ну с Вашим то нестандартным способом мышления (по сравнению с моим) и огромным опытом это вполне закономерно;)

Таланов

modesto писал(а):Source of the post
Ну с Вашим то нестандартным способом мышления

Да бросьте, вы. Это как раз стандартный приём.

yourdomain.com