Аппроксимация

physchemist · Сообщение **physchemist** » 25 июн 2011, 07:38

Имеется уравнение линии
$y^2 = \dfrac{2\left( b^2 + 12\alpha x (c+1) \right)^{3/2}-2b^3+72\alpha x(c+1)}{27(c + 1)\beta^2}.$
Есть набор экспериментальных точек $$x$$

и

.
Реально ли определить из такого уравнения четыре неизвестных коэффициента, если из другой зависимости посредством МНК вычислены две их комбинации:
$\dfrac{\beta^{2/3}b}{\alpha}$ и $\dfrac{\beta^{4/3}c}{\alpha}$
?

s2009_33 · Сообщение **s2009_33** » 25 июн 2011, 13:14

physchemist писал(а):Source of the post
Имеется уравнение линии
$y^2 = \dfrac{2\left( b^2 + 12\alpha x (c+1) \right)^{3/2}-2b^3+72\alpha x(c+1)}{27(c + 1)\beta^2}.$
Есть набор экспериментальных точек и .
Реально ли определить из такого уравнения четыре неизвестных коэффициента, если из другой зависимости посредством МНК вычислены две их комбинации:
$\dfrac{\beta^{2/3}b}{\alpha}$ и $\dfrac{\beta^{4/3}c}{\alpha}$
?

Предлагаю использовать пакет SigmaPlot. Там есть аппроксимация методом МНК разными функциями, а также есть аппроксимация любой другой функцией, заказанной пользователем. Введете туда свою функцию, массив точек, и получите сразу значения четырех коэффициентов с погрешностями.

physchemist · Сообщение **physchemist** » 25 июн 2011, 14:36

s2009_33 писал(а):Source of the post есть аппроксимация любой другой функцией, заказанной пользователем.

Благодарю за совет - решить эту задачу численно, разумеется, можно. Но, может быть, кто-то подскажет аналитический способ? Привести указанное выше уравнение к виду, пригодному для применения МНК, мне пока не удалось.

s2009_33 · Сообщение **s2009_33** » 25 июн 2011, 16:29

physchemist писал(а):Source of the post
s2009_33 писал(а):Source of the post есть аппроксимация любой другой функцией, заказанной пользователем.

Благодарю за совет - решить эту задачу численно, разумеется, можно. Но, может быть, кто-то подскажет аналитический способ? Привести указанное выше уравнение к виду, пригодному для применения МНК, мне пока не удалось.

То есть методом МНК вы пользовались аналитически, без ЭВМ? Я правильно понял?

physchemist писал(а):Source of the post
s2009_33 писал(а):Source of the post есть аппроксимация любой другой функцией, заказанной пользователем.

Благодарю за совет - решить эту задачу численно, разумеется, можно. Но, может быть, кто-то подскажет аналитический способ?

Но зачем?

physchemist писал(а):Source of the post
s2009_33 писал(а):Source of the post есть аппроксимация любой другой функцией, заказанной пользователем.

Благодарю за совет - решить эту задачу численно, разумеется, можно. Но, может быть, кто-то подскажет аналитический способ? Привести указанное выше уравнение к виду, пригодному для применения МНК, мне пока не удалось.

Это к какому? Но если у вас большой массив данных, например 100 точек, все равно придется применять ЭВМ.

s2009_33 писал(а):Source of the post

Реально ли определить из такого уравнения четыре неизвестных коэффициента, если из другой зависимости посредством МНК вычислены две их комбинации:
$\dfrac{\beta^{2/3}b}{\alpha}$ и $\dfrac{\beta^{4/3}c}{\alpha}$
?

Вычислите, если это возможно, еще две комбинации, и будет система из 4 уравнений с 4 неизвестными.

В политехе мы делали аппроксимацию квадратичной функцией вручную. Было 10 точек и писанины на несколько страниц. Но это как упражнение. А на практике это не рационально.

physchemist · Сообщение **physchemist** » 25 июн 2011, 16:48

s2009_33 писал(а):Source of the post То есть методом МНК вы пользовались аналитически, без ЭВМ?

Говоря "аналитически", я имею в виду получить "вручную" формулу для расчёта коэффициентов.

s2009_33 писал(а):Source of the post есть аппроксимация любой другой
Но зачем?

Так красивее.

s2009_33 писал(а):Source of the post Это к какому?

Попробуйте найти частные производные суммы квадратов отклонений по каждому из неизвестных коэффициентов (эти производные приравниваются нулю). В данном случае окажется, что эти производные будут содержать не только суммы каких-то степеней экспериментально определённых величин x, y или их произведений, но и суммы величин, содержащих (помимо х и у) сами неизвестные коэффициенты. А раз эти последние суммы неизвестны, то и МНК здесь для определения коэффициентов, как я понимаю, не может быть применён. Так что функцию нужно как-то преобразовывать, но не приложу ума, как.

s2009_33 писал(а):Source of the post Но если у вас большой массив данных, например 100 точек, все равно придется применять ЭВМ.

Конечно, но речь не об этом. См. выше.

s2009_33 писал(а):Source of the post Вычислите, если это возможно, еще две комбинации, и будет система из 4 уравнений с 4 неизвестными.

Те две комбинации вычислены из другой зависимости, которая успешно аппроксимируется параболой, и коэффициенты её путём МНК легко находятся. Больше оттуда ничего не получишь, и теперь нужно найти ещё две комбинации - с этой целью-то и затеяна аппроксимация другой кривой, в этом и проблема.

s2009_33 писал(а):Source of the post В политехе мы делали аппроксимацию квадратичной функцией вручную.

Понятное дело, для параболы (и вообще степенной функции) всё нормально получается, ибо там в выражениях для частных производных можно "отделить" суммы величин, зависящих только от х и у, от подлежащих определению коэффициентов. Но здесь-то функция другого вида.

s2009_33 · Сообщение **s2009_33** » 25 июн 2011, 17:40

Не знаю как это сделать. И ради красоты только я бы лично это делать не стал. Для практики, если нужно получить коэффициенты, и их получу. И мне не важно каким методом -численно или аналитически, лишь бы при численном методе погрешность была минимальна.

yourdomain.com