Задачка с индийской математической олимпиады

Equinoxe · Сообщение **Equinoxe** » 15 июн 2011, 16:53

Найти все функции $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ .
$\forall x, y, z\in \mathbb{R} \, \, f(x^2+yf(z))=xf(x)+zf(y)$

Мне эта задачка показалась ну очень простой. Буквально первая идея привела к решению. А Вы как считаете?

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 15 июн 2011, 17:34

неправильное решение:

Ludina · Сообщение **Ludina** » 15 июн 2011, 17:38

Первое что пришло в голову: f(u)=u. Осталось найти остальные решения

Ludina · Сообщение **Ludina** » 15 июн 2011, 17:58

Запишем 2 уравнения (переименовывая переменные):
$$ f(x^2+yf(z))=xf(x)+zf(y)$$

Из которых:
$\frac{f(y)}{f(x)}=\frac{f(x^2+yf(z))-xf(x)}{f(y^2+xf(z))-yf(y)}$
Обращаем внимание, что отношение справа не должно зависить от z. Такие же соотношения получаются для остальных двух переменных. Делаем вывод:
$f(y^2+xf(z))-yf(y)=f(x)\psi(z)$
(или не делаем - пишу "по первому впечатлению")
И вот 2 варианта ответа:
f(x)=x;
f(x)=0.
Может, еще что-то есть...

Equinoxe · Сообщение **Equinoxe** » 15 июн 2011, 18:32

Ludina писал(а):Source of the post
Запишем 2 уравнения (переименовывая переменные):

Из которых:
$\frac{f(y)}{f(x)}=\frac{f(x^2+yf(z))-xf(x)}{f(y^2+xf(z))-yf(y)}$
Обращаем внимание, что отношение справа не должно зависить от z. Такие же соотношения получаются для остальных двух переменных. Делаем вывод:
$f(y^2+xf(z))-yf(y)=f(x)\psi(z)$
(или не делаем - пишу "по первому впечатлению")
И вот 2 варианта ответа:
f(x)=x;
f(x)=0.
Может, еще что-то есть...

Ага, именно они. Решала по-другому — представила, что x=z=0, а дальше всё по маслу

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 15 июн 2011, 18:52

Equinoxe писал(а):Source of the post
$\frac {f(x^2)} {f(x)} = x$ для всех , т.е. .

Объясните мне вот это место, плиз

Это неверно. Возьмите $f(x)=x (-1)^{T(x)}$ , где $$T(x)$$

- функция, принимающая значение 0 на алгебраических и 1 на трансцендентных числах.
Уравнение эквивалентно $\frac{f(x^2)}{x^2}=\frac{f(x)}{x}=t(x)$ , где $$t(x)$$

, любая функция $$t(x)$$

такая, что $$t(x^2)=t(x)$$

. $\mathbb{R}$ разбивается на сколько множеств, инвариантных относительно возведения его элементов в квадрат?

Equinoxe · Сообщение **Equinoxe** » 15 июн 2011, 19:09

Sonic86 писал(а):Source of the post
Equinoxe писал(а):Source of the post
$\frac {f(x^2)} {f(x)} = x$ для всех , т.е. .

Объясните мне вот это место, плиз

Хм, Вы правы, есть ещё как минимум f(1)=const.
Сейчас поищу

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 15 июн 2011, 19:23

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 15 июн 2011, 19:45

Sonic86 писал(а):Source of the post
Уравнение эквивалентно $\frac{f(x^2)}{x^2}=\frac{f(x)}{x}=t(x)$ , где , любая функция такая, что .

А хорошая идея, кстати. Отсюда видно, что решением уравнения $$f(x^2)=xf(x)$$

будет:
$f(x)=x\varphi(\{\log_2 (\ln x)\})$ при $$x>1$$

, где $\varphi(x)$ - вообще любая функция $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ (фигурные скобки - дробная часть числа), при $$0<x<1$$

аналогично, только $\varphi$ уже может быть другой и внутренний логарифм по модулю, $$f(0)$$

и

какие угодно, а $$f(-x)=-f(x)$$

.

MrDindows · Сообщение **MrDindows** » 15 июн 2011, 19:57

На основании того, что $$f(0)=0$$

,

, и откидывая случай $$f(x)=0$$

- константа.
1) $$f(x^2+yf(z))=xf(x)+zf(y)$$

Значит

2) Предположим что есть $$c$$

- отличное от нуля, такое что $$f(c)=0$$

Положим $x=0, \ z=c$ , получим $$f(yf(c))=cf(y)$$

откуда

.

3) Положим $y=-x, \ z=x$ , получим $$f(x^2-xf(x))=xf(x)-xf(x)=0$$

Или

Значит

На основании пункта 1: $$f(-x^2)=-x^2$$

Тоесть

Проверьте плиз)

yourdomain.com