Белые и чёрные подмножества

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 05 июн 2011, 10:07

Все подмножества непустого конечного множества $$ S $$

изначально были чёрными.
Затем некоторые из них покрасили в белый цвет так, что для любых двух белых подмножеств $$ A $$

и

(не обязательно различных) $\overline{A\cup B}$ - тоже белое.

а) Доказать, что для любых двух белых подмножеств $$ A $$

и

(не обязательно различных) $A\cup B$ - тоже белое.
б) Какого цвета может быть пустое подмножество? А само множество $$ S $$

?
в) Что можно сказать о чётности числа белых подмножеств? Каково минимальное число белых подмножеств, если есть хотя бы одно белое подмножество? А если есть хотя бы одно белое непустое собственное подмножество?

mihailm · Сообщение **mihailm** » 05 июн 2011, 10:25

Xenia1996 писал(а):Source of the post
...
$\overline{A\cup B}$ - тоже белое.
...

Это типа дополнение что ли?

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 05 июн 2011, 10:35

mihailm писал(а):Source of the post
Xenia1996 писал(а):Source of the post
...
$\overline{A\cup B}$ - тоже белое.
...

Это типа дополнение что ли?

Это типа дополнение к объединению.

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 05 июн 2011, 13:38

Xenia1996 писал(а):Source of the post
Все подмножества непустого конечного множества изначально были чёрными.
Затем некоторые из них покрасили в белый цвет...

Небольшое пояснение к условию:
Красятся не элементы подмножеств, а сами подмножества!

F(x) · Сообщение **F(x)** » 05 июн 2011, 16:37

из условия что $$A$$

и

не обязательно различны следует, что $\overline A$ белое если $$A$$

белое.
тогда
а) $A \cup B = \overline {\overline {A \cup B}}$
б) если есть хотя бы одно белое мн-во, то $\overline {A \cup \overline A} = \overline {S} = \oslash$ , тогда и S -- белое
в) т.к. каждое белое мн-во тянет а собой своё дополнение то чётно

yourdomain.com