Вычисление вычета

test_3 · Сообщение **test_3** » 05 июн 2011, 13:44

Помогите разобраццо с примером
В книжке Свешников-Тихонов на странице 140 есть такой пример вычисления интеграла в помощью вычета

Непонятен момент вычисления вычета в точке -1
Как я понимаю вычет вычислялся таким образом (a<1 по условие): $Res(\frac{z^{a-1}}{z+1},-1)=(-1)^{a-1}=e^{\pi(a-1)i}$

Однако степенная функия ж многозначная, почему не вычисляется так:
$Res(\frac{z^{a-1}}{z+1},-1)=(-1)^{a-1}=e^{(\pi+2\pi k)i(a-1)}$

Тогда получаем, что вычет - многозначная функция :search:
Шо то я совсем запутался с этим

JeffLebovski

Насколько помню, в Свешников-Тихонов написано, что мы рассматриваем однозначную ветвь функции.

test_3 · Сообщение **test_3** » 05 июн 2011, 13:58

JeffLebovski писал(а):Source of the post
Насколько помню, в Свешников-Тихонов написано, что мы рассматриваем однозначную ветвь функции.

Ок, несколько переформулирую задание чтобы было видна суть проблемы

Рассмотрим функцию
$f(z)=\frac{\sqrt{z}}{z+1}$

1) Является ли z=-1 полюсом первого порядка?
2) Как вычислить вычет в данное точке?

JeffLebovski

Рассматривайте однозначную ветвь вашей функции: $f(z)=\frac{|z|^{\frac12}e^{i\frac{\varphi}{2}}}{z+1}$ . Вроде так....
Для однозначной ветви, да является полюсом первого порядка.

yourdomain.com