Сумма чисел на шахматной доске

BSK · Сообщение **BSK** » 27 май 2011, 08:11

Equinoxe писал(а):Source of the post Поясните, пожалуйста, что Вы понимаете под «накрылись»

Накрылась квадратом 2 на 2.

Equinoxe · Сообщение **Equinoxe** » 27 май 2011, 09:59

BSK писал(а):Source of the post
Equinoxe писал(а):Source of the post Поясните, пожалуйста, что Вы понимаете под «накрылись»
Накрылась квадратом 2 на 2.

Это-то я понимаю, я не понимаю, какими именно, почему поочередно и т.п. Я ведь не знаю, какие квадраты Вы рассматриваете

Зато я придумала новое док-во — индуктивное:

Для квадрата (n-2)x(n-2) доказана n-2, поставим его в угол, остальное покроем 2х2шками так, что угловая клеточка окажется непокрытой, а одна клеточка окажется на пересечении двух 2х2. Объединение этих 2х2шек не может быть больше 1 (т.к. сумма их сумм минус пересечение = 0+0-клеточка, что не может быть >= 1). Итого: +2 к большому квадрату. Получаем (n-2)+2=n.

Для 3х же доказать 3 совсем очевидно
Вот такой получается рисунок для 9х9:
$Изображение$
1 — большой квадрат 7x7. 2 — то, что заполняем 2х2. 3 — пересечение 2х2. 4 — пустая клеточка

BSK · Сообщение **BSK** » 27 май 2011, 10:06

Equinoxe писал(а):Source of the post
BSK писал(а):Source of the post
Equinoxe писал(а):Source of the post Поясните, пожалуйста, что Вы понимаете под «накрылись»
Накрылась квадратом 2 на 2.

Это-то я понимаю, я не понимаю, какими именно, почему поочередно и т.п. Я ведь не знаю, какие квадраты Вы рассматриваете

С верхнего левого угла укладывайте доску квадратами, не залезая ниже диагонали.
С нижнего правого угла укладывайте доску квадратами, не залезая выше диагонали.

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 15 июн 2011, 20:43

Нашла ещё одно решение, по индукции.
Для $$n=1$$

утверждение верно.
Пусть оно верно для $$n=2k-1$$

Тогда на доске $(2k+1)\times(2k+1)$ отметим левый нижний квадрат $2k\times2k$
Сумма чисел в нём равна нулю.
Теперь бросим взгляд на оставшиеся клетки - все они, кроме двух угловых, представляют из себя "разницу" между квадратом $2k\times2k$ и квадратом $(2k+1)\times(2k+1)$ , значит, по предположению индукции, сумма не будет превышать $$2k-1$$

плюс ещё две угловые клетки - итого $$2k+1$$

Я права?

yourdomain.com