олимпиадная задачка про куб -- верны ли рассуждения?

F(x) · Сообщение **F(x)** » 18 май 2011, 21:45

Задача 10 за 2010-й год с олимпиады обсуждаемой в этой теме

Можно ли через вершины куба провести 8 параллельных плоскостей (по одной через каждую вершину) так, чтобы расстояния между двумя соседними плоскотями были равны?

Решение:
пусть это возможно, тогда построим плоскость перпендикулярную(или просто пересекающую) этим параллельным плоскостям и спроецируем наш куб на нее в направлении некоторой прямой принадлежащей одной из параллельных плоскостей. Тогда исходный вопрос сводится к такому: если на плоскости построить 8 параллельных прямых таких что расстояния между соседними равны, можно ли на них выбрать 8 точек так что они образуют проекцию некоторого куба?

-- по-моему очевидно

BSK · Сообщение **BSK** » 19 май 2011, 03:51

F(x) писал(а):Source of the post можно ли на них выбрать 8 точек так что они образуют проекцию некоторого куба?

-- по-моему очевидно

Как Вы узнали, что это проекция куба?

$(a_{1i}, a_{2i}, \cdots, a_{ni})$ - координаты $$i$$

-ой вершины $$n$$

-мерного единичного куба.
Числа $a_{1i} \cdot 2^0 + a_{2i}\cdot 2^1 + \cdots + a_{ni}\cdot 2^{n-1}$ составляют арифметическую прогрессию.
Это означает, что искомые плоскости имеют нормаль $(2^0, 2^1, \cdots, 2^{n-1}).$

Ian · Сообщение **Ian** » 19 май 2011, 06:45

Именно за 2010 год на том сайте имеются жюрийские решения, в том числе на русском. Вот оно, только в текстовом формате STDUшником не вытаскивается, что-то с кодовыми таблицами

Зато мы не узнали бы, что есть решение более идейно выдержанное, для размерности n, использующее, что двоичные числа $a_{ni}...a_{2i}a_{1i}$ - это просто числа $$0,1,...2^n-1$$

без пропусков и повторений:

BSK писал(а):Source of the post $(a_{1i}, a_{2i}, \cdots, a_{ni})$ - координаты -ой вершины -мерного единичного куба.
Числа $a_{1i} \cdot 2^0 + a_{2i}\cdot 2^1 + \cdots + a_{ni}\cdot 2^{n-1}$ составляют арифметическую прогрессию.
Это означает, что искомые плоскости имеют нормаль $(2^0, 2^1, \cdots, 2^{n-1}).$

Браво!

F(x) · Сообщение **F(x)** » 19 май 2011, 13:02

BSK писал(а):Source of the post Как Вы узнали, что это проекция куба?

я не утверждаю что на рисунке именно проекция. Рисунок привел лишь для наглядности. Моя идея в том что если мы будем двигать точки туда-сюда вдоль прямых то рано или поздно пройдем через положение когда они будут образовывать некоторую проекцию куба (хотя алгоритм гарантированного нахождения такого расположения неизвестен пока). Почему? По принципу непрерывности чтоли...ведь любая проекция куба на плоскость характеризуется определённым соотношением углов и длин проекций рёбер, а двигая точки по прямым мы можем варьировать эти соотношения в достаточно широком диапазоне. В общем на интуитивном уровне вроде все понятно, но строгости не хватает поэтому я и спросил...

Ian писал(а):Source of the post Именно за 2010 год на том сайте имеются жюрийские решения, в том числе на русском.

по-моему построение использованное в этом решении аналогично моему, верно?

Ian · Сообщение **Ian** » 19 май 2011, 16:14

F(x) писал(а):Source of the post
Ian писал(а):Source of the post Именно за 2010 год на том сайте имеются жюрийские решения, в том числе на русском.

по-моему построение использованное в этом решении аналогично моему, верно?

Верно, что жюри за неполностью обоснованное, но не содержащее неверных утверждений доказательство дает не меньше половины баллов. Наверное потому, что жюри не лишено самокритичности: "может, это у меня что- то клинит, и это очевидно?" Вот то же ощущение было у меня, когда прочитал BSK: в каком порядке занумерованы вершины n- мерного куба? Но это форум, тут проще: дополнил решение BSK одной фразой, в которой указал, в каком

yourdomain.com