Найти

Ответить на сообщение
Аватар пользователя
JeffLebovski
Сообщений: 650
Зарегистрирован: 06 апр 2011, 21:00

Найти

Сообщение JeffLebovski » 16 май 2011, 22:17

$$\displaystyle \int\limits_0^1\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}dx$$
Последний раз редактировалось JeffLebovski 29 ноя 2019, 06:53, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
Аватар пользователя
Ellipsoid
Сообщений: 1359
Зарегистрирован: 28 июл 2009, 21:00

Найти

Сообщение Ellipsoid » 16 май 2011, 22:35

$$\displaystyle u=\frac{1}{1+x^2};\ dv=\ln (1+x)dx; \ du=\frac{2x}{1+x}dx; \ v=\int \ln (1+x) dx$$

$$\displaystyle \int \ln (1+x)dx=[u=\ln (1+x); \ dv=dx; \ du=\frac{dx}{1+x}; v=x]=uv-\int vdu=x\ln (1+x)-\int \frac{xdx}{1+x}$$
Последний раз редактировалось Ellipsoid 29 ноя 2019, 06:53, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
Аватар пользователя
JeffLebovski
Сообщений: 650
Зарегистрирован: 06 апр 2011, 21:00

Найти

Сообщение JeffLebovski » 16 май 2011, 22:44

А что дальше?

Да кстати, он в элементраных вообще не считается вроде бы...

Что-то вообще ничего не понял, откуда $$\displaystyle du=\frac{2x}{1+x}dx$$ такое?
Последний раз редактировалось JeffLebovski 29 ноя 2019, 06:53, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
Аватар пользователя
Ellipsoid
Сообщений: 1359
Зарегистрирован: 28 июл 2009, 21:00

Найти

Сообщение Ellipsoid » 16 май 2011, 22:46

Чушь написал. Пора спать ложиться. :lool:
Последний раз редактировалось Ellipsoid 29 ноя 2019, 06:53, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
Аватар пользователя
JeffLebovski
Сообщений: 650
Зарегистрирован: 06 апр 2011, 21:00

Найти

Сообщение JeffLebovski » 16 май 2011, 23:53

А если логарифм в ряд разложить? Стоит ли?
Последний раз редактировалось JeffLebovski 29 ноя 2019, 06:53, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
Аватар пользователя
ALEX165
Сообщений: 10578
Зарегистрирован: 30 сен 2008, 21:00

Найти

Сообщение ALEX165 » 17 май 2011, 00:29

Берите его по частям.
Последний раз редактировалось ALEX165 29 ноя 2019, 06:53, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 5455
Зарегистрирован: 28 июл 2009, 21:00

Найти

Сообщение Ian » 17 май 2011, 06:45

Ответ такой
В частности, это значит, что
$$I=\frac{\pi}4\ln2-\int_0^1\frac{\arctg x}{1+x}dx=\frac{\pi}4\ln2-I$$ но не вижу, как просто преобразовать один интеграл к другому
$$\arctg x =\frac 1{2i}\ln\frac{1+ix}{1-ix}$$ такая есть формула связи
Последний раз редактировалось Ian 29 ноя 2019, 06:53, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
Аватар пользователя
JeffLebovski
Сообщений: 650
Зарегистрирован: 06 апр 2011, 21:00

Найти

Сообщение JeffLebovski » 17 май 2011, 06:53

Я вообще попробовал его вычетами, сделал замену $$t=\frac1{1-x}-1$$. Но ответа, который должен не получается. Получается вообще комплексный...

ALEX165 писал(а):Source of the post
Берите его по частям.

А смысл? Он в элементарных всё равно не берётся.
Последний раз редактировалось JeffLebovski 29 ноя 2019, 06:53, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
BSK
Сообщений: 198
Зарегистрирован: 15 май 2011, 21:00

Найти

Сообщение BSK » 17 май 2011, 08:13

$$x=\tg t$$

$$\int\limits_0^{\pi / 4}{\ln (1+\tg t)}dt = \int\limits_0^{\pi / 4}\ln \sqrt{2}dt + \int\limits_0^{\pi / 4}\ln \sin(t+\pi / 4)dt - \int\limits_0^{\pi / 4}\ln \cos(t)dt = \int\limits_0^{\pi / 4}\ln \sqrt{2}dt$$
Последний раз редактировалось BSK 29 ноя 2019, 06:53, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
Dm13
Сообщений: 392
Зарегистрирован: 23 дек 2008, 21:00

Найти

Сообщение Dm13 » 19 май 2011, 16:45

Случайно всплыл в памяти фрагмент из "Вы конечно же шутите, мистер Фейнман" о том, как автор брал интегралы с помощью приёма введения параметра, который натолкнул на еще один вариант решения.

Обозначим $$f(a)=\int_{0}^{1}{\frac{\ln(1+ax)}{1+x^2}}dx$$.
Тогда
$$f^{\prime}(a)=\int_{0}^{1}{\frac{x}{(1+ax)(1+x^2)}}dx$$.
Раскладываем подинтегральное выражение на элементарные дроби:
$$\frac{x}{(1+ax)(1+x^2)}=-\frac{a}{(1+a^2)(1+ax)} + \frac{x + a}{(1+a^2)(1+x^2)}$$.
Получаем:
$$f^{\prime}(a)=\int_{0}^{1}{\frac{x}{(1+ax)(1+x^2)}}dx = -\frac{1}{1+a^2}\ln(1+ax)|_0^1 + \frac{\ln(1+x^2)}{2(1+a^2)}|_0^1 + \frac{a}{1+a^2}\arctan{x}|_0^1=$$
$$=-\frac{\ln(1+a)}{1+a^2} + \frac{\ln(2)}{2(1+a^2)} + \frac{a\pi}{4(1+a^2)}$$.

Так как $$f(0)=0$$, то
$$I=f(1) = \int_0^1f^{\prime}(a)da=$$
$$=-\int_0^1\frac{\ln(1+a)}{1+a^2}da + \int_0^1\frac{\ln(2)}{2(1+a^2)}da + \int_0^1\frac{a\pi}{4(1+a^2)}da = $$
$$=-I + \frac{\pi \ln(2)}{8} + \frac{\pi \ln(2)}{8}$$.
Откуда, $$I = \frac{\pi \ln(2)}{8}$$.
Последний раз редактировалось Dm13 29 ноя 2019, 06:53, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Вернуться наверх
Ответить на сообщение

Вернуться в «Школьная математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 3 гостей