Олимпиада по математики

Таланов

Таланов писал(а):Source of the post
vvvv писал(а):Source of the post
И можно сначала этот путь пройти.

Сначала никак нельзя. Только после переплыва.

Оказывется можно. Только определить его нужно по углу между $$A$$

и

.

Ludina · Сообщение **Ludina** » 20 апр 2011, 07:51

He получится. Пусть мы уже в лодке сколько-то проплыли и находимся внизу по течению в A' на расстоянии A'-B' от берега. За минимальное время прибыть в B', a следовательно и в B можно только плывя под 30 градусов к A'B'.

A в Чем разница между задачей прибыть из A' в B' за минимальное время и прибыть из A в B за минимальное время. По-моему это одна и та же задача
Хотя да согласен, плыть неизменно под 30 градусов будет быстрее. Чего-то мне не то вчера ночью в голову пришло.

по углу между A и B

:blink:
по углу между AB и направлением движения лодки?

Таланов

Ludina писал(а):Source of the post
по углу между AB и направлением движения лодки?

Нет. Отойти от $$A$$

на такое расстояние, что бы $$AB$$

виделся под углом 60 градусов.

Ludina · Сообщение **Ludina** » 20 апр 2011, 08:45

Просто не понял этого

по углу между A и B

Ludina · Сообщение **Ludina** » 20 апр 2011, 09:01

Вот попытался решить задачу c рекой если считать, что угол изменяется.
$$v_2$$

- составляющая скорости лодки, направленная против течения.
A - начало координат. Ось у направлена вдоль берега по течению, ось х - к B.
Теперь $$v_2$$

зависит от х. Необходимо найти такую функцию $$v_2(õ)$$, чтобы время было минимальным.
$$ dy=vdt-v_2dt $$

(*)

Сделаем несколько переобозначений для упрощения записей:
$X=\frac{x}{v}$
$k=\frac{v_2}{v}$
продолжим
$dX=\sqrt{1-k^2}dt (**)$
из (**) находим время, необходимое для переплытия реки
$T=\int_{0}^{\frac{l}{v}}{\frac{dX}{\sqrt{1-k^2}}} (***)$
из (*) - расстояние, на которое лодку от B унесет за это время (т.e. координату у лодки через время t)
$y=v\int_{0}^{T}{(1-k)dt}= v\int_{0}^{\frac{l}{v}}{\sqrt{\frac{1-k}{1+k}}dX} (****)$
Найдем теперь все время:
все время= $\int_{0}^{\frac{l}{v}}{\frac{dX}{\sqrt{1-k^2}}}+ \int_{0}^{\frac{l}{v}}{\sqrt{\frac{1-k}{1+k}}dX}$
Найти такую функцию k(X), чтобы "все время" было минимальным

Ludina · Сообщение **Ludina** » 20 апр 2011, 09:17

Оказывается все можно было доказать очень просто: если переплывать под любым другим углом время переправы увеличится (при сокращении времени переплытия через реку увеличится время хождения по берегу и наоборот), поэтому если на короткое время угол изменить время преодолевания всего пути только увеличится! (Рисунок)
Ha первом рисунке правильное переплытие. Ha втором угол на некоторое время изменился - время переплытия уменьшилось, a по берегу шагать придется дольше. Удастся ли так сократить общее время? Посмотрим на рисунок 3. Такой способ переплытия то же, что и на рисунке 2. Ho расчеты c неизменным углом показали что из 2 в 4 перебраться быстрее всего под углом 30 градусов. Таким образом любое изменение угла ведет только к увелечению времени (по сравнению c постоянным направлением под 30 градусов), потому и изменяя угол непрерывно нельзя добраться из A в B быстрее.

Кстати, написал практически то же, что и talanov и только теперь это заметил. Приношу свои извинения talanov-у за то что, сразу не вдумался в его объяснение и посчитал его неверным

Ludina · Сообщение **Ludina** » 20 апр 2011, 10:05

Найти такую функцию k(X), чтобы "все время" было минимальным

...но мы-то знаем что верный ответ $k=\frac{1}{2}$

И еще... здесь, наверное, нужно ввести ограничения на k(X) - действительная, непрерывная... может быть что-то еще...

Александр Малошенко

Сегодня на лекции преподаватель показывал как решать одно из заданий олимпиады
решаем ДУ

$y''+x(x+1)y'+2xy=0\\ y''+x^2y'+xy'+2xy=0\\ y''+xy'+(x^2y)'=0\\ y''+y-y+xy'+(x^2y)'=0\\ y''+(xy)'+(x^2y)'=y\\ (y'+xy+x^2y)'=y$
дальше интереснее, надо интегрировать по х? тогда получаем дальше

$y''+x(x+1)y'+2xy=0\\ y''+x^2y'+xy'+2xy=0\\ y''+xy'+(x^2y)'=0\\ y''+y-y+xy'+(x^2y)'=0\\ y''+(xy)'+(x^2y)'=y\\ (y'+xy+x^2y)'=y\\ y'+xy+x^2y=xy+c\\ y'+x^2y-c=0\\ y=e^{- \frac {x^3}{3}}+c$
так чтоль получается :rolleyes: :rolleyes: :rolleyes:

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 21 апр 2011, 19:21

Может у меня опять какой-то заскок, но не понимаю перехода от

Александр Малошенко писал(а):Source of the post

к

Александр Малошенко писал(а):Source of the post

же у нас не постоянная, чтобы в правой части так делать.

Александр Малошенко

вот тут наверно я нашалил, т.к. не знал по чему интегрировать... a что должно быть на ваш счёт?

yourdomain.com