Интересная закономерность

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 24 мар 2011, 09:44

$(2+1)\cdot 1=3$
$$3^2+4^2=5^2$$

$(3+2)\cdot 2=10$
$$10^2+11^2+12^2=13^2+14^2$$

$(4+3)\cdot 3=21$
$$21^2+22^2+23^2+24^2=25^2+26^2+27^2$$

$(5+4)\cdot 4=36$
$$36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2$$

/////////////////////////////////////////////////////////////////////

$(n+(n-1))\cdot (n-1)=(2n-1)(n-1)=2n^2-3n+1$

$(2n^2-3n+1)^2+(2n^2-3n+2)^2+ \dots +(2n^2-3n+n)^2=(2n^2-3n+(n+1))^2+(2n^2-3n+(n+2))^2+ \dots + (2n^2-3n+(2n-1))^2$

mihailm · Сообщение **mihailm** » 24 мар 2011, 10:11

Прикольно

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 24 мар 2011, 10:27

Красиво!

Arzamasskiy · Сообщение **Arzamasskiy** » 24 мар 2011, 10:37

Самое замечательное, что это для всех n работает!

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 24 мар 2011, 10:41

Arzamasskiy писал(а):Source of the post
Самое замечательное, что это для всех n работает!

Я не стала писать доказательство, оно не трудное, но длинноватое.
Доказательство базируется на формуле сокращённого умножения $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Потом почти всё сокращается.

B оригинале задача была про 10 чисел и 9 после них, я нашла ответ = 171, a потом мне интересно стало обобщить...

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 24 мар 2011, 11:03

Я думаю, c кубами такое тоже прокатит, просто много ручной работы будет

Можно сформулировать более общую задачу.
Доказать, что для любых натуральных $$n, m>1$$

можно найти n последовательных натуральных чисел, сумма эмных степеней которых равна сумме эмных степеней следующих за ними n-1 последовательных натуральных чисел.

...................................................................

Пардон, даже c кубами уже не прокатывает.

Уравнение $$a^3+(a+1)^3=(a+2)^3$$

не имеет целых решений

Arzamasskiy · Сообщение **Arzamasskiy** » 24 мар 2011, 11:31

Xenia1996

Я тут поигрался c Mathematica

$RSolve [\sum_{i=1}^{n}{(f[n]+i)^m}-\sum_{i=n+1}^{2n-1}{(f[n]+i)^m==0, f[n], n}]$

Числа f[n] натуральны только при m, равных 1 и 2.

Mr.IL · Сообщение **Mr.IL** » 24 мар 2011, 19:55

yourdomain.com