Формула для числа прямоугольников (олимпиада Приморского кр)

Гость · Сообщение **Гость** » 23 мар 2011, 19:55

Выразите через натуральное число n количество прямоугольников на координатной плоскости co сторонами, параллельными осям и целочисленными вершинами (a, b ) $0\le a, b\le n$

Ian · Сообщение **Ian** » 23 мар 2011, 19:58

Гость писал(а):Source of the post
Выразите через натуральное число n количество прямоугольников на координатной плоскости co сторонами, параллельными осям и целочисленными вершинами (a, b ) $0\le a, b\le n$

$\frac{n^2(n+1)^2}4$

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 23 мар 2011, 19:59

Хм... это олимпиадная задача?

M	Кстати, что за олимпиада, проводится еще или уже закончилась?

A	Кстати, что за олимпиада, проводится еще или уже закончилась?

Выдра_FF

Ian писал(а):Source of the post
$\frac{n^2(n+1)^2}4$

A путь? Путь к решению?

AV_77 писал(а):Source of the post
Хм... это олимпиадная задача?

M Кстати, что за олимпиада, проводится еще или уже закончилась?
A Кстати, что за олимпиада, проводится еще или уже закончилась?

80 какого то года

Ian · Сообщение **Ian** » 23 мар 2011, 20:19

Достаточно выбрать y-координаты двух горизонтальных сторон из n+1 вариантов, и чтоб не совпали: $C^2_{n+1}$ способов, и то же независимо сделать для х-координат вертикальных.

typhoon · Сообщение **typhoon** » 23 мар 2011, 20:52

AV_77 писал(а):Source of the post
Хм... это олимпиадная задача?

He олимпиадная.

[url=http://www.funtrivia.com/askft/Question54.html]http://www.funtrivia.com/askft/Question54.html[/url]

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 23 мар 2011, 21:59

Ian писал(а):Source of the post
Гость писал(а):Source of the post
Выразите через натуральное число n количество прямоугольников на координатной плоскости co сторонами, параллельными осям и целочисленными вершинами (a, b ) $0\le a, b\le n$
$\frac{n^2(n+1)^2}4$

Выведенная Вами формула является частным случаем более общей закономерности, согласно которой число прямоугольников (c целочисленными вершинами и соронами, параллельными осям координат) внутри (не обязательно строго внутри) большого прямоугольника n на m равна произведению энного и эмного треугольных чисел.
$\frac{n(n+1)}2 \cdot \frac{m(m+1)}2$

Частный случай $$n=2; m=3$$

подробно рассмотрен в этом детском саду, a задачу, я полагаю, TC взяла отсюда (год 1990, задача 1).

yourdomain.com