Обсуждение методов решения систем уравнений

[alekcey]

Давайте будем в этой теме обсуждать, сравнивать методы решения систем нелинейных уравнений.

[alekcey]

  Пусть у нас имеется система уравнений ,  где уравнений и  переменных. Применяя для её решения метод продолжения по параметру, мы вместо исходной системы рассматриваем новую систему:
,
где  параметр, а  начальное приближение к решению. Решение новой системы при  совпадает с решением исходной системы.
Классический метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений является частным случаем метода продолжения по параметру. Убедиться в этом можно, если к решению новой системы применить метод Эйлера, а шаг по параметру взять равным .
 
 

[w.wrobel]

Source of the post Пусть у нас имеется система уравнений F(X)=0, где n уравнений и n переменных. Применяя для её решения метод продолжения по параметру, мы вместо исходной системы рассматриваем новую систему: F(X)-(1-t)\cdot F(X_{0})=0 , где t параметр, а X_{0} начальное приближение к решению. Решение новой системы при t=1 совпадает с решением исходной системы. Классический метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений является частным случаем метода продолжения по параметру.

 
Мнда. Ну вот такие откровения в сочетании с позицией модераторов уже характеризуют уровень не данного конкретного персонажа, но уровень форума в целом. Увы.

[alekcey]

  Кто бы сомневался, что отметится w.wrobel, действительно, персонаж. Как всегда, ни о чём.
w.wrobel, опровергайте, решайте, предлагайте – хватит шлёпать. Хотя бы ссылки, w.wrobel, если сами не в состоянии изъясняться.
w.wrobel, а Вы имеете опыт в этой области, кроме, понятно, общих бессмысленных слов? Если да, то, пожалуйста, подтвердите.
w.wrobel, несть числа, сколько  Вам предлагалось рассмотреть задачи, решённые данным методом на этом и на других форумах, в опубликованных работах. Есть решённые задачи, которые Вам не решить никогда лучше, думаю, чем они уже решены. И последнее, скорее, лесть, потому что их Вам вообще не решить.
Да чего там далеко ходить? Вот, оказывается,  какой специалист наше шлёпало
http://e-science.ru/groups/%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0-%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4-%D0%BD%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0http://e-science.ru/groups/%D0%BD%D0%B0%D1...%BE%D0%BD%D0%B0
 
 
 

[alekcey]

Source of the post   Пусть у нас имеется система уравнений ,  где уравнений и  переменных. Применяя для её решения метод продолжения по параметру, мы вместо исходной системы рассматриваем новую систему:
,
где  параметр, а  начальное приближение к решению. Решение новой системы при  совпадает с решением исходной системы.
Классический метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений является частным случаем метода продолжения по параметру. Убедиться в этом можно, если к решению новой системы применить метод Эйлера, а шаг по параметру взять равным .

Классический вариант метода Ньютона может легко и навсегда улететь от решения вблизи точек перегиба, не говоря о точках экстремума. Метод продолжения по параметру работает надёжнее.  Его работа полностью соответствует условию теоремы о существовании неявной функции. Эта же теорема объясняет, почему мы не можем методом продолжения по параметру проходить места, в которых функция принимает экстремальные значения. Если от точки  приближения к решению  системы до самого решения условия теоремы соблюдаются, то мы гарантированно приходим к решению системы  .  Правда, если потребуется дополнительная точность, то уже для уточнения решения лучше задействовать другой метод.

[alekcey]

И вот ещё о методе Ньютона.  Прямо из РАН.



[img]/modules/file/icons/application-pdf.png[/img] Метод Ньютона и его роль в оптимизации.pdf