метод Драгилева решения систем нелинейных уравнений

alekcey · Сообщение **alekcey** » 06 янв 2016, 12:12

Andrew58, ну, а как её можно пройти, если в ней ничего нет? Вполне достаточно эти точки находить, что Вы и видели в примере из химической кинетики в теме про отделение корней, когда это даже не точка, а бесконечное их множество.

А где мой новый друг, w.wrobel ? Штудирует, наверно, пропущенные занятия на втором курсе? Да, мой друг w.wrobel, всё гениальное просто. Будет у Вас желание, поищите в сети официальные публикации, можно и нерусскими буквами. И жду Вас с Вашими вопросами по существу.

alekcey · Сообщение **alekcey** » 07 янв 2016, 15:48

После предыдущего сообщения каждому должно быть понятно, как получить линию пересечения таких вот поверхностей:
$\begin{cases} & \(x1 + .5\cdot\sin(5\cdot\ x3))^2 + (x2 - 2)^2 + (x3 + .5\cdot\sin(2\cdot\ x1))^2 - 9=0 \\ & \ x1^6 + x2^6 + x3^6 - 12=0 \end{cases}$
Если не обращать внимание на движение, то точки кривой одновременно принадлежат первой и второй поверхностям, то есть, являются решением
недоопределённой системы уравнений.
Это сообщение как подготовка к будущей параллельной теме, посвящённой примерам.

alekcey · Сообщение **alekcey** » 07 янв 2016, 17:11

Для друзей, которые учились мимо (надо было не только учиться, но и стараться понимать, дружище w.wrobel). Но так поступали не все. Например, один американский друг по имени Robert J. Lopez разобрался и решил донести идею метода Драгилева до своих американских коллег и посетителей сайта Maplesoft. Это относится к линии пересечения поверхностей. Правда, он немного путается в правописании, поскольку по-английски автор просил писать его фамилию Draghilev, но зато отменно постарался в остальном. Итак, линия пересечения поверхностей по-американски. Оказывается, и Википедия не обошла вниманием ту же работу. Непонятно только, почему не представлены другие, например, на русском и ближе к источникам.

w.wrobel · Сообщение **w.wrobel** » 07 янв 2016, 17:20

Как я уже говорил, содержание так называемого "метода Драгилева" совершенно банально и состоит в том, что по системе алгебраических уравнений
$ $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f_k%28x_1%2C%5Cldots%2C%20x_%7Bn%2B1%7D%29%3D0%2C%5Cquad%20k%3D1%2C%5Cldots%2C%20n%24%24" alt="$$f_k(x_1,\ldots, x_{n+1})=0,\quad k=1,\ldots, n$$" title="$$f_k(x_1,\ldots, x_{n+1})=0,\quad k=1,\ldots, n$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$ $ (*)
строится система дифференциальных уравнений
$ $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cdot%20x_i%3Dv_i%28x_1%2C%5Cldots%2Cx_%7Bn%2B1%7D%29%2C%5Cquad%20i%3D1%2C%5Cldots%2C%20n%2B1%24%24" alt="$$\dot x_i=v_i(x_1,\ldots,x_{n+1}),\quad i=1,\ldots, n+1$$" title="$$\dot x_i=v_i(x_1,\ldots,x_{n+1}),\quad i=1,\ldots, n+1$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$ $ (**)
таким образом, что функции $ $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f_k%24%24" alt="$$f_k$$" title="$$f_k$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$

$ оказываются первыми интегралами , системы дифференциальных уравнений (**). Поэтому если решение системы (**), в начальный момент времени удовлетворяет, системе (*) то оно удовлетворяет ей и в любой момент времени. Это знают студенты второго курса.
Сам по себе этот метод практически бесполезен (или в лучшем случае весьма ограничен), поскольку более простой объект -- система алгебраических уравнений заменяется более сложным -- системой дифференциальных уравнений. Для системы дифференциальных уравнений вопросы скорости сходимости и устойчивости численных методов это штука более сложная, чем для алгебраических уравнений. Именно этим объясняется то, что в учебники по численным методам данная техника, не смотря на всю ее очевидность, не попала.
Я ни чего не хочу сказать плохого про покойного математика Драгилева, в mathnet.ru имеется только одна его статья, что несколько странно, просто некоторым математикам не везет на учеников и последователей. Сам специалист, как правило, прекрасно осознает меру ограниченности своих результатов, а вот безграмотный и бездарный эпигон начинает приписывать этим результатам силу и универсальность, от которых автора бросило бы в дрожь. Известны случаи когда дураки вроде автора данной ветки, портили своим учителям реноме. Более того, полагаю, что если бы Драгилев был жив, и был активно работающим матеатиком, то ему пришлось бы открещиваться от этого ретивого идиота Алексея.

alekcey · Сообщение **alekcey** » 12 янв 2016, 12:12

Дам возможность w.wrobel, другу моему, проявить недюжинные его способности. Пример из темы про отделение корней, и мы рассмотрим этот пример ещё раз в параллельной теме данного раздела, но чуть позже, а сначала слово мастеру. Не подведите, дружище. Какой Вы на язык и на надувание щёк, Вы уже немного показали, осталось подтвердить. Например, по системе уравнений, как Вы умеете и любите, построить систему уже дифференциальных уравнений, ну, Вы знаете, короче, до полного решения. (Только это, маэстро w.wrobel, чур, не списывать из темы про отделение корней.)

$\begin{cases} & \(4\cdot\(1-2 \cdot\cos(x_{1})+2\cdot\cos(x_{2})-2\cdot\ cos(x_{3})))/\pi - x_{4} = 0 \\ & \(4\cdot\(1-2\cdot\cos(5\cdot\ x_{1})+2\cdot\cos(5\cdot\ x_{2})-2\cdot\cos(5\cdot\ x_{3})))/5\cdot\pi = 0; \\ & \(4\cdot\(1-2\cdot\cos(7\cdot\ x_{1})+2\cdot\cos(7\cdot\ x_{2})-2\cdot\cos(7\cdot\ x_{3})))/7\cdot\pi = 0; \end{cases}$

Оригинал задачи, если что, здесь

alekcey · Сообщение **alekcey** » 14 янв 2016, 07:33

К слову, именно тот самый Алексей предложил получать бесконечное множество решений, и расчёт механизмов тоже. А его слегка упёртый и, похоже-таки, туповатый друг w.wrobel не знает, что нет прижизненных опубликованных работ Анатолия Владимировича по этой теме. Так именно и обстоят дела.
И продолжая писать общие слова без всякий конкретики, друг его w.wrobel добьётся лишь порицания от модераторов, но выглядеть солиднее и значимее никак не будет, потому что по делу не сказал ещё ничего, кроме, например, явной ерунды про скорость и сходимость…, понятия, которые здесь в принципе отсутствуют, причём скорость даже наоборот.
Получение бесконечного множества решений, неуч w.wrobel, есть актуальная проблема, и статей по этой теме больше, чем достаточно, и всегда можно сравнить результат, а не балаболить. Но не буду же я называть друга балаболкой? Хотя, если не будет примеров и, повторюсь, конкретики и обоснований – придётся.
-----------------------
Точнее, нет вообще опубликованных работ Анатолия Владимировича по этой теме.

alekcey · Сообщение **alekcey** » 16 янв 2016, 12:07

Ещё одна часть решения исходной системы в виде проекции на подпространство $x_{2}, x_{3}, x_{4}$ . Точки линии (решения) можно выводить таблично с любым практически необходимым расстоянием между ними. Невязки по уравнениям показаны выборочно без дополнительного уточнения – они одинаковые по всей линии.
Всем всё понятно, а, w.wrobel?

alekcey · Сообщение **alekcey** » 16 янв 2016, 17:52

Или вот ещё пример “проблемы” http://cyberleninka.ru/article/n/obobschenie-metoda-villisa-na-rychazhnye-mehanizmy-vysokih-klassov http://cyberleninka.ru/article/n/obobschen...vysokih-klassov А попробуй предложить элементарнейшее её решение, причём плоский это механизм или пространственный – никто не ответит, вернее, якобы не станут читать. Так это Бауманка, что говорить про других. Дабы не быть голословным, как некоторые это любят, предлагаю посмотреть примеры 3d механизмов с выводом кинематики точек в теме “отделение корней систем нелинейных уравнений” . Постараемся рассмотреть в “примерах решения недоопределённых систем уравнений” и рычажные механизмы тоже. Или, если получится, в отдельной теме. -------------------------------------------------------------------- (Интересно, кто-нибудь заметил, что бурно стартовавший здесь балабол w.wrobel сразу же жидко пропал, как только речь зашла о конкретном? Так обычно поступают на dxdy, правда, там прячась за спины наёмных скурато-модераторов. Потому что кроме как цитирования книжек, работы никакой никогда не делали и в жизни, естественно, ничего полезного не совершили. Вторичный признак публики этой породы – жёсткая анонимность.)

alekcey · Сообщение **alekcey** » 16 янв 2016, 18:19

Друг мой w.wrobel молчит, видимо, он(о) давно уже решил систему в уме и забыл. У умных так случается, у особо умных болтунов особенно.
Нет, наверно, лучше продолжить в этой же теме для непрерывного восприятия.
Произведя замену в вышеприведённой системе

$cos(x_{1})=x_{1}, cos(x_{2})=x_{2},cos(x_{3})=x_{3}, x_{4}=x_{4},$

получаем следующую, но уже полиномиальную, систему уравнений:

$\begin{cases} & \4-8\cdot\ x_{1}+8\cdot\ x_{2}-8\cdot\ x_{3}-\pi \cdot\ x_{4}=0; \\ & \4/5-(128/5)\cdot\ x_{1} ^5+32\cdot\ x_{1}^3-8\cdot\ x_{1}+(128/5)\cdot\ x_{2}^5-32\cdot\ x_{2}^3+8\cdot\ x_{2}-(128/5)\cdot\ x_{3}^5+32\cdot\ x_{3}^3-8\cdot\ x_{3}=0; \\ & \4/7-(512/7)\cdot\ x_{1} ^7+128\cdot\ x_{1}^5-64\cdot\ x_{1}^3+8\cdot\ x_{1}+(512/7)\cdot\ x_{2}^7-128\cdot\ x_{2}^5+64\cdot\ x_{2}^3-8\cdot\ x_{2}-(512/7)\cdot\ x_{3}^7+128\cdot\ x_{3}^5-64\cdot\ x_{3}^3+8\cdot\ x_{3}=0; \end{cases}$
Решением системы является линия в четырёхмерном пространстве. С помощью вспомогательного уравнения и процедуры в математическом пакете для решения полиномиальных уравнений ищем точки на участках линии. После чего возвращаемся к исходной системе уравнений и находим участки линии с учётом периода для первых трёх переменных.
Можно было не переходить к полиномиальной системе, но тогда сложнее искать участки линии в пространстве.
Таблицы решений приводить не будем, но покажем проекцию одного из участков на наше 3d, и там же порядок невязок по каждому из исходных уравнений системы.

alekcey · Сообщение **alekcey** » 17 янв 2016, 18:47

Кто откроет учебник Артоболевского И.И. “Теория механизмов и машин”, найдёт там пример расчёта сферического механизма (шарнир Гука). А вот пример почти сферического механизма, только вместо сферы берётся уравнение $$x^4+y^4+z^4 - 1=0$$

. Хотелось бы узнать, каким способом получить расчёт такого механизма? Сразу скажем, у Артоболевского искать нет смысла, тупой и злобный w.wrobel тупо и завистливо молчит ... Зато работает идея метода Драгилева.
Мы в лоб выписываем геометрические связи между точками, получаем соответствующую систему уравнений и стандартно её решаем. Собственно говоря, это всё. Есть описание метода Драгилева, есть описание метода расчёта рычажных механизмов с примерами, а всё остальное просто процедура, в которую подставляются нужные параметры. Одна страничка текста и алгоритм для всех видов рычажных механизмов.

Первые два уравнения – принадлежность концов рычага “квадратной” сфере, остальные три отвечают за постоянные расстояния между точками:

$\begin{cases} & \ x_{1}^4+x_{2}^4+x_{3}^4 -L_{1}^4=0; \\ & \ x_{4}^4+x_{5}^4+x_{6}^4 -L_{1}^4=0; \\ & \ (g_{1}-x_{1})^2+(g_{2}-x_{2})^2+(g_{3}-x_{3})^2-L_{2}^2=0; \\ & \ (C_{1}-x_{4})^2+(C_{2}-x_{5})^2+(C_{3}-x_{6})^2-L_{2}^2=0; \\ & \ (x_{1}-x_{4})^2+(x_{2}-x_{5})^2+(x_{3}-x_{6})^2-L_{2}^2=0;\end{cases}$
$C_{1}= -.84090; C_{2} = .84090; C_{3} = 0.;$ координаты стационарной точки
$g_{1} = 1.; g_{2} = 0.; g_{3} = 0.;$ координаты стационарной точки
$L_{1} = 1.; L_{2} = 2^{0.5};$ длины рычагов

И решение системы:

yourdomain.com