Турнир

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 17 авг 2008, 22:22

Я тоже немного сделал, но отправлять обязательно надо! Сколько сделали не важно, главное что все пытались . Только я пока отправить не могу, т.к. у меня д.р., сейчас на пару часов домой заскочил специально чтоб ответы набить и отослать .

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 18 авг 2008, 05:19

Внимание!!!
Время сдачи задач заканчивается!

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 18 авг 2008, 12:41

Отправил свои жалкие подобия на решения...

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 18 авг 2008, 13:27

Отправил аццкое решение 6 задачи :lool:

Arven · Сообщение **Arven** » 19 авг 2008, 18:20

AV_77 писал(а):Source of the post
5) Оценка проводится следующим образом. Каждый автор получит решение своей задачи всех других участников (без указания имени). Он же и выставляет оценки по 5-бальной шкале. Оценки присылаются мне.

Вопрос. B какой срок надо сделать и отослать оценки? (Смогу не раньше чем завтра...)

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 20 авг 2008, 17:27

Arven писал(а):Source of the post
AV_77 писал(а):Source of the post
5) Оценка проводится следующим образом. Каждый автор получит решение своей задачи всех других участников (без указания имени). Он же и выставляет оценки по 5-бальной шкале. Оценки присылаются мне.
Вопрос. B какой срок надо сделать и отослать оценки? (Смогу не раньше чем завтра...)

Чем скорее, тем лучше.
И, кстати, выкладываем решения сових задач!

Справедливость утверждения сразу следует из того, что число $(2 + \sqrt{3})^n + (2 - \sqrt{3})^n$ четное.

9) Решение эадачи возьму у a_l_e_x'a (лень писать, a решение почти такое же).
Найдем, при каких a данные числа не взаимно просты. Пусть d>1 НОД a и в. Тогда
$\{ {a^2+1=dm \\ 2a+3=dn}$ , $m,n \in Z$ , причем числа m,n взаимно просты
Выразив из второго равенства a, подставив его в первое, и приведя подобные, получим $$13=d(-dn^2+6n+4m)$$

Поскольку d>1 то d=13
Тогда имеем $2a+3=13m \Rightarrow a \equiv 5 (mod 13) \Rightarrow a=13k+5$ . Убедимся что при этом первое равенство также выполняется: $a^2+1=13^2+5\cdot a \cdot 13 +25+1 \equiv 0 (mod 13)$ . Таким образом при $$a=13k+5$$

НОД равен 13, при остальных a 1
Ответ при $$a=13k+5$$

, $k \in Z$ $\gcd(a^2+1;2a+3)=13$
при остальных a $\gcd(a^2+1;2a+3)=1$

PS. B 9-й задаче почему-то некоторые участники искали НОД многочленов, a не целых чисел. Ho так как это мой недочет (условие недостаточно определено), то поставил им высший балл.

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 20 авг 2008, 18:06

1.
При каких $m \in \mathbb{N}$ многочлен $x^{2m} + x^m + 1$ делится на $$ x^2 + x + 1 $$

.

Также приведу решения участников. B моем распоряжении было два варианта решений, которые отличаются только мелочами от ниже приведенных.

Решение №1.
Многочлен $$ f(x)=x^2+x+1 $$

имеет корни $\theta_1=e^{\frac{2 \pi i}{3}}$ и $\theta_2=e^{\frac{4 \pi i}{3}}=\theta_{1}^{2}$ . Отметим, что $\theta_{1}^{3}=1$ .
Многочлен $$ g(x) $$

делится на многочлен $$ f(x) $$

тогда и только тогда, когда $g(\theta_1)=0$ ( так как $\theta_2=\bar{\theta_1}$ , то отсюда будет следовать, что и $g(\theta_2)=0$ ).
Многочлен $h(x)=x^{2m}+x^{m}+1=f(x^m)$ . Условие $h(\theta_1)=f(\theta_{1}^{m})=0$ равносильно тому, что $\theta_{1}^{m}=\theta_{1}$ или $\theta_{1}^{m}=\theta_{2}$ ,
A это будет выполняться тогда и только тогда, когда не делится на 3.
Ответ: при $$ m $$

не кратном трем.

Решение №2.
Заметим, что при любых $$m,n$$

выполняется тождество
$x^k=(x^{k-2}-x^{k-3})(x^2+x+1)+x^{k-3}$
Таким образом при $k \ge 3$ вопрос делимости многочлена $$x^k$$

на многочлен $$x^2+x+1$$

эквивалентен вопросу делимости $x^{k-3}$ на $$x^2+x+1$$

, или можно записать что $x^k \equiv x^{k-3} (mod x^2+x+1)$
Рассмотрим следующие варианты:
1) $$m=3k$$

, $k \in N$ . Тогда
делимость многочлена $x^{6k}+x^{3k}+1$ на многочлен $$x^2+x+1$$

эквивалента (применив выведенное ранее свойство несколько раз) делимости многочлена 1 на $$x^2+x+1$$

. Ho 1 не делится на $$x^2+x+1$$

2)

, $k \in N$ . Тогда
делимость многочлена $x^{6k+2}+x^{3k+1}+1$ на многочлен $$x^2+x+1$$

эквивалента делимости многочлена $$x^2+x+1$$

на

. Таким образом, при $$m=3k+1$$

удовлетворяют условию задачи.
3) $$m=3k+2$$

, $k \in N$ . Тогда
делимость многочлена $x^{6k+4}+x^{3k+2}+1$ на многочлен $$x^2+x+1$$

эквивалента делимости многочлена $$x+x^2+1$$

на

. Таким образом, при $$m=3k+2$$

удовлетворяют условию задачи.
Ответ: при любом натуральном m, не кратном 3

Задача предлагалась на олимпиаде по математике студентам (первокурсникам) УГТУ-УПИ.
Также есть в книге B.B.Прасолов "Задачи по алгебре, арифметике и анализу."

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 20 авг 2008, 18:26

задача 4.
Ha плоскости лежат 2008 точек. Верно ли, что при любом их расположении можно так провести окружность, не проходящую ни через одну из этих точек, чтобы внутри окружности лежало 1004 точки?

Интерес представляют два ответа. Первый-практически авторское решение. Третий-оригинальное конструктивное решение. Обоим поставил по 5 баллов. B решении 2 мало что понял, но поставил один балл за волю к победе.

Решение 1.
Докажем, что при любом расположении точек всегда найдется точка, расстояние от которой до всех остальных точек различно. ГМТ, равноудаленных от двух точек - серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Проведем для каждой пары точек серединные перпедикуляры. Очевидно, что любая точка, не принадлежащая этим серединным перпедикулярам будет расположена на разном расстоянии от этих точек. Кроме того, точка, которая не принадлежит ни одному серединому перпендикуляру всегда найдется, поскольку конечным числом прямых невозможно покрыть плоскость.
Выберем точку, расстояние от которой до все остальных точек различно (и которая не совпадает c отмеченными точками). Упорядочим точки по мере удаления от выбранной точки. Пусть и расстояния до 1004й и 1005й точки соответственно. ПРоведем окружность c радиусом . Ясно, что построенная окружность является искомой.
Ответ: верно

Решение 2.
Разумеется неверно, нужно просто сопоставить всем точкам одни и теже координаты. A вот если у всех точек координаты разные, то можно будет подобрать такую окружность(центры некоторых из них будут совпадать c точками, но не всегда возможно будет построить такую окружность c центром в каждой точке.

Решение 3.
Проведем прямую, такую что все точки лежат в одной полуплоскости. Назовем эту прямую базовой.
Проведем через все точки прямые, параллельные базовой прямой. Пронумеруем эти прямые.
Выберем прямую, такую, что количество точек лежащих на прямых c меньшими номерами меньше 1004.
A количество точек на прямых c меньшими номерами плюс выбранная прямая больше или равно 1004.
Пусть эта прямая имеет номер I. Возмем на этой прямой две точки, так чтоб количество точек внутри интервала,
ограниченного точками плюс количество точек лежащих на прямых c меньшими номерами было ровно 1004.
Покажем, что через эти точки всегда можно построить окружность, удовлетворяющую условиям задачи. Алгоритм поиска окружности показан на рисунке.

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 20 авг 2008, 18:53

Задача №7.
Было получено 2 решения.

1)
Обозначим . Заметим, что . Тогда $a+x=\sqrt{1+x^2}, a^2+2ax+x^2=1+x^2, x=\frac{1-a^2}{2a}$ . Аналогично $y=\frac{1-b^2}{2b}, z=\frac{1-c^2}{2c}$ .
Условие будет эквивалентно условию
.
После приведения подобных получим
.
Используя стандартные обозначения для симметрических многочленов $\sigma_1=a+b+c, \sigma_2=ab+ac+bc, \sigma_3=abc$ , последнее равенство перепишем в виде $\sigma_1+\sigma_2 \sigma_3 - \sigma_1 \sigma_2 +3 \sigma_3=4 \sigma_3$ .
Приводя подобные, получим $(\sigma_3-\sigma_1)(\sigma_2 -1)=0$
При условии (*) имеет место неравенство $\sigma_1>\sigma_3$ . Следовательно, получаем, что $\sigma_2 = ab+bc+ac = f(x)f(y)+ f(y)f(z)+f(x)f(z)=1$ .

2)
Найдем обратную функцию, функции f(x) и подставим ee в .
$x=\frac {1-f^2(x)} {2f(x)}$
$\frac {1-f^2(x)} {2f(x)}\frac {1-f^2(y)} {2f(y)}+\frac {1-f^2(x)} {2f(x)}\frac {1-f^2(z)} {2f(z)}+\frac {1-f^2(y)} {2f(y)}\frac {1-f^2(z)} {2f(z)}=1$
После преобразований получим:

отсюда следует

Решения идентичные, в конечном итоге оба автора пришли к равенству $(\sigma_3-\sigma_1)(\sigma_2 -1)=0$ , однако в решении №2 не т доказательства что не может быть $\sigma_3=\sigma_1$ (что кстати может выполняться при отрицательных значениях x,y,z)
Поэтому за первое решение я поставил 5 баллов, за второе - 4 балла.

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 20 авг 2008, 19:04

[quote name='a_l_e_x' date='20.8.2008, 15:53' post='42335']
Задача №7.
Было получено 2 решения.
[quote]
A какое авторское решение подразумевалось? условие намекает на тригонометрическую замену.

yourdomain.com

Турнир

Турнир

Турнир

Турнир

Турнир

Турнир

Турнир

Турнир

Турнир

Турнир

Турнир

Кто сейчас на форуме