Корны, Бермант-Араманович о производной по направлению.

Ponomaryov · Сообщение **Ponomaryov** » 23 дек 2013, 21:00

Рубен писал(а):Source of the post
Ponomaryov писал(а):Source of the post $\vec{grad\phi }\cdot \vec{n_{r}}dr =|\vec{grad\phi }|cos\varphi d\lambda \Rightarrow$

$dr/d\lambda =cos\varphi$

Дальше продолжим, когда обоснуете математическую безупречность того, как "работает" последнее вытекающее из обсуждаемого общепринятого определения производной по направлению определение косинуса угла $\varphi$ между векторами $\vec{n_{r}}$ и $\vec{n_{\lambda }}$ .

Самое смешное то, что первое равенство в общем случае неверно (верно, если поверхность уровня -- n-мерная сфера), а второе - верно всегда. Причем, второе вообще никак не связано с первым, более того, оно вполне очевидно и доказывается без всяких дурацких градиентов.

1) Совершенно ясно, что вектора $d\mathbf {r} , \mathbf {n_r}dr$ и $rd\mathbf{n_r}$ образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой $d\mathbf {r}$ . Так же очевидно, что $d\lambda = |d\mathbf {r}|$ вдоль любой (в общем случае кривой) непрерывной линии $\lambda$ . Тогда угол между векторами $\mathbf {n_r}$ и $\mathbf {n_{_\lambda}}$ найдется по теореме Пифагора:

$\displaystyle \cos \varphi = \frac { |\mathbf {n_r}dr|} {|d\mathbf {r}|} = \frac {dr} {d\lambda}$

2) То же самое, но более формально. Производная радиус-вектора по любому направлению $\lambda$ равна: $\displaystyle \frac {d\mathbf {r}} {d\lambda} = \mathbf {n_{_\lambda}}$ .

Скалярно умножаем последнее равенство на $\mathbf {n_r}$ (т.е. проецируем на радиус-вектор, в отличии от ТС-а, опрометчиво проецировавшего равенство на градиент, который не всегда коллинеарен радиус-вектору):

$\frac {d\mathbf {r}} {d\lambda} \cdot \displaystyle \mathbf {n_r}= \frac {dr} {d\lambda} = \mathbf {n_{_\lambda}} \cdot \mathbf {n_r}} = \cos \varphi$

3) Еще, для разнообразия, это можно доказать через уравнение прямой в векторной форме. Расстояние $r(\lambda)$ от любой точки на прямой $\lambda$ до начала координат выражается формулой:

$\displaystyle r(\lambda) = \sqrt{r^2_{_0} + {\lambda}^2}$

тут $r_{_0}$ - расстояние от прямой до начала координат, $\lambda = |\mathbf {r - r_{_0}}|$ . Тогда: $\displaystyle \frac {dr} {d \lambda} = \frac {\lambda} {r} = \cos \varphi$
_____________________________________________

Единственное, что так и осталось неясным, что же всё-таки хотел ниспровергнуть ТС в этой теме?

Самое смешно, что

1) Совершенно ясно, что пример оппонента о проектировании дифференциала радиус-вектора $d\vec{r}$ на направление $\vec{n}_{r}dr$ не соответствует рассматриваемому в учебнике определению

"Производная функции по данному направлению равна скалярному произведению градиента функции

$\frac{\partial u }{\partial \lambda }= \operatorname{grad} u \cdot\vec{e_{\lambda }}$

на единичный вектор этого направления.

Производная функции по данному направлению равна проекции градиента функции на направление дифференцирования, т.е

$\frac{\partial u }{\partial \lambda }= |\operatorname{grad} u|\cos\varphi$

$\varphi$ – угол между векторами $\operatorname{grad} u$ и лучом $\vec{\lambda }$ (рис. 149)." [Бермант-Арманович, изд. 1971 года, стр. 427]

производной по направлению.

2) В очередной раз оппонент, безуспешно пытаясь как наперстками манипулировать порядком ортов в их произведении (говоря о скалярном домножении равенства на орт $\vec{n}_{r}$ , "гений" ставит его в произведении с ортом $\vec{n}_{\lambda }$ на первое место), что-то опрометчиво проектирует на радиус-вектор (в его цитате произведение $\vec{n}_{\lambda } \cdot \vec{n}_{r}$ приведено в соответствие с формулируемым оппонентом условием домножения, а значит и проектирования на $\vec{n}_{r}$ ), в отличие от данных учебника, в определении которого речь ведется о проектировании вектора градиента на произвольное направление дифференцирования $\vec{\lambda }$ . Если бы оппонент знал, о чем идет речь в учебнике, он не совершал бы опрометчивых поступков проектирования $\vec{n}_{\lambda }$ на $\vec{n}_{r}$ , предлагая скалярно умножать последнее равенство на $\vec{n}_{r}$ и получая $\cos\varphi$ между гипотенузой $d \lambda$ и прилежащим катетом $$dr$$

.

Его пустословие о том, что ТС что-то проецировал на градиент, не заслуживает внимания по причине ложности данного заявления.

3) Наконец, для разнообразия, "знаток математики" решил потешить почтенную публику "глубиной" собственных знаний по теме дифференциальных уравнений первого порядка, родив "шедевр"

$\frac{dr}{d\lambda }=\frac{\lambda}{r}=\cos\varphi$ ,

отражающий, скорее всего, все, чему он научился "работая" на форумах.

В итоге, преобразуя "достижение" оппонента в вид

$\lambda d\lambda =rdr\Rightarrow d\frac{\lambda ^2}{2}=d\frac{r^2}{2}\Rightarrow$

$\lambda =r \Rightarrow \lambda =r\cos0\Rightarrow \varphi =0$ ,

имеем закономерный финиш бурной деятельности оппонента на ниве "кручу-верчу, обмануть всех хочу"

$\frac{\lambda }{r}=\cos0 \Rightarrow \lambda =r$ ,

но, правда, единственное, что так и осталось неясным: что и на что он проектирует в этом случае? А жаль…

Рубен · Сообщение **Рубен** » 24 дек 2013, 00:20

Ponomaryov, этот пост был адресован не вам, если что, а более подготовленным читателям форума - для вас пост слишком трудный, еще не доросли.

А вы, в свою очередь, должны были ответить на пост #50 - но увильнули от ответа.

Ponomaryov писал(а):Source of the post Самое смешно, что

1) Совершенно ясно, что пример оппонента о проектировании дифференциала радиус-вектора $d\vec{r}$ на направление $\vec{n}_{r}dr$ не соответствует рассматриваемому в учебнике определению

"Производная функции по данному направлению равна....

Я вообще не рассматривал производную функции по направлению, я рассматривал производную радиус-вектора по направлению.

Ponomaryov, ну, я еще раз повторю - этот пост не для вас: вы константу от функции отличить не можете, какие там градиенты

2) В очередной раз оппонент, безуспешно пытаясь как наперстками манипулировать порядком ортов в их произведении (говоря о скалярном домножении равенства на орт

Ponomaryov, не тупите, скалярное произведение коммутативно, т.е результат не зависит от порядка сомножителей. Незнание не освобождает от ответственности.

3) Наконец, для разнообразия, "знаток математики" решил потешить почтенную публику "глубиной" собственных знаний по теме дифференциальных уравнений первого порядка, родив "шедевр"

$\frac{dr}{d\lambda }=\frac{\lambda}{r}=\cos\varphi$ ,

Любой нормальный человек, взяв прямоугольный треугольник с гипотенузой $$r$$

, катетом $\lambda$ , противолежащем к углу $\varphi$ , легко сможет убедиться, что это так и есть.

Но это сможет нормальный человек - у которого присутствуют кроме необходимых знаний еще зачатки логики. То есть - не тратьте время зря.

отражающий, скорее всего, все, чему он научился "работая" на форумах.

Чему научились вы, бегая по форумам и забрасывая один и тот же бессмысленный текст, мы все тут увидели: гримасничать и кривляться.

В итоге, преобразуя "достижение" оппонента в вид

$\lambda d\lambda =rdr\Rightarrow d\frac{\lambda ^2}{2}=d\frac{r^2}{2}\Rightarrow$

Пока верно.

$\lambda =r \Rightarrow \lambda =r\cos0\Rightarrow \varphi =0$

Грубейшая ошибка: не умеешь интегрировать - сперва научись. Если брался определенный интеграл, то где пределы интегрирования? Если неопределенный, то где константа интегрирования?

имеем закономерный финиш бурной деятельности оппонента

Такой финиш получился только у вас. Так получается, только когда руки кривые и растут, к тому же, из сами знаете откуда

но, правда, единственное, что так и осталось неясным: что и на что он проектирует в этом случае? А жаль…

Не кривляйтесь - уже не то.

M

Итак, в сухом остатке: оппонент интегрировать не умеет; свойства скалярного произведения - не знает; четко наблюдается полное отсутствие понимания того, о чем идет речь в постах собеседника ("пример оппонента о проектировании дифференциала радиус-вектора на направление не соответствует рассматриваемому в учебнике определению"); высокомерие и самоуверенность - зашкаливают.

Поступим с товарищем Пономаревым так. Отведем ему 3 дня отдыха: первый - на повторение основ интегрального исчисления, второй - на повторение основ векторной алгебры, третий - на критический самоанализ в свете приобретенных знаний.

A

Итак, в сухом остатке: оппонент интегрировать не умеет; свойства скалярного произведения - не знает; четко наблюдается полное отсутствие понимания того, о чем идет речь в постах собеседника ("пример оппонента о проектировании дифференциала радиус-вектора на направление не соответствует рассматриваемому в учебнике определению"); высокомерие и самоуверенность - зашкаливают.

Поступим с товарищем Пономаревым так. Отведем ему 3 дня отдыха: первый - на повторение основ интегрального исчисления, второй - на повторение основ векторной алгебры, третий - на критический самоанализ в свете приобретенных знаний.

Пользователь Орбан И.Н. всё еще может продолжать отстаивать свою позицию в этой теме.

Орбан И.Н.

Рубен писал(а):Source of the post
kiv писал(а):Source of the post Ни вы, ни ваш предшественник условия $\varphi(x,y,z)=\varphi(r)$ не ставили, а значит, существование такого поля ничего не доказывает.

Он не поймет о чем вы говорите - не поймет при чем тут это условие.

Как это и неудивительно уже, но Вы по-прежнему в своем репертуаре…

Тем не менее, как говорится, дорогу осилит идущий, а поэтому уверен, Вам нелишне будет узнать, что обоснование справедливости Вашей записи $\frac{ \lambda }{r}=\frac{dr}{d \lambda }$ в одном единственном случае, когда $\lambda =r$ , то есть тогда и только тогда, когда косинус угла между прямыми равен единице, т.е. $\cos \varphi_{\lambda r} =1$ , весьма простое и по силам любому, мало-мальски знакомому с азами тригонометрии.

Итак, совместим начало плоской декартовой прямоугольной системы координат $$OXY$$

с пересечением Ваших прямой $\lambda$ , выраженной функцией

$y= tg \varphi_{\lambda }x$

и выраженной функцией

$y= tg \varphi_{r}x$

прямой $$r$$

, где $\varphi_{r }$ и $\varphi_{\lambda }$ - угол между прямой и осью $$OX $$

соответственно, а $\varphi_{r }- \varphi_{\lambda }= \varphi_{\lambda r}$ – угол между прямыми.

Тогда квадрат длины отрезка каждой прямой ( $[0; \lambda ]$ и $$[0;r] $$

) запишется

$\lambda^2=x^2(1+ tg^2 \varphi_{\lambda })$ ,

$r ^2=x^2(1+ tg^2 \varphi_{r})$ .

Исходя из изложенного, справедливо являющееся следствием Вашего $rdr= \lambda d \lambda$ следующее тождество вида $d\frac{r^2}{2}=d\frac{\lambda ^2}{2}$

$d\frac{x^2(1+ tg^2 \varphi _{r})}{2}=d\frac{x^2(1+ tg^2 \varphi _{ \lambda })}{2}$ ,

что в свою очередь означает справедливость

$\frac{dx^2}{dx^2}=\frac{1+ tg^2 \varphi _{ \lambda }}{1+ tg^2 \varphi _{r}} =1$

только при

$tg^2 \varphi _{ \lambda }=tg^2 \varphi _{r}$ .

Нетрудно видеть, что последнее имеет смысл в одном единственном случае, а именно, когда $\varphi _{ \lambda }= \varphi _{r}$ , что означает равенство нулю угла между прямыми $\varphi_{r }- \varphi_{\lambda }= \varphi_{\lambda r}=0$ . А так как

$\lambda =r \cos \varphi_{\lambda r}= r \cos0$ ,

то

$\lambda =r$ .

Как Вы смогли убедиться, для получения этого вполне очевидного результата любому желающему даже не обязательно обладать спсобностями к интегрированию.

Может быть, наконец, все-таки попытаетесь понять. при чем тут это условие $\lambda =r$ , чтобы перестать извлекать квадратные корни из нулей?

Рубен · Сообщение **Рубен** » 26 дек 2013, 23:09

Орбан И.Н. писал(а):Source of the post и по силам любому, мало-мальски знакомому с азами тригонометрии.

То есть, не вам

Итак, совместим начало плоской декартовой прямоугольной системы координат с пересечением Ваших прямой $\lambda$ , выраженной функцией

$y= tg \varphi_{\lambda }x$

и выраженной функцией

$y= tg \varphi_{r}x$

а у вас что, прямые всегда проходят через начало координат? Я рассматриваю общий случай, а вы, в типичной для вас демагогической манере, "доказываете" что $\varphi = 0$ , рассматривая специальный случай. Увы, но для прямой общего вида, то есть прямой, описываемой общим уравнением (помните, что такое "общее уравнение прямой"? Если нет - почитайте), угол между радиус-вектором точки прямой и её направлением $\varphi \not = 0$ .

Орбан И.Н., вы на протяжении всей темы никак не поймете, что результаты, справедливые для специального случая нельзя бездоказательно распространять на более общий случай. А вот обратное сделать можно: разбирая частный случай и получая противоречие, доказываем ошибочность более общего утверждения. Проблема в том, что вы не понимаете этой логики и постоянно допускаете невообразимо идиотские ляпы.

________________________________________________________________________

P.S. И да, Орбан И.Н., вы так и не ответили на #84 - отмолчаться не получиться. Вы убедились уже прямой подстановкой, что функция

$$\displaystyle \phi(x,y,z) = \sqrt{1 - \frac {x^2} {a^2} - \frac {y^2} {b^2} - \frac {z^2} {ñ^2}}$$

не равна тождественно нулю при произвольных значениях (x;y;z) или возникли трудности в счете?

yourdomain.com