ARRY, я отвечу но не на все ваши вопросы.
ARRY писал(а):Source of the post С интересом следил за дискуссией. 12d3, респект Вам и всяческая уважуха. Теория множеств была разжёвана Вами так, что не понять уже нельзя.
А почему вы говорите в прошедшем времени? Я не считаю, что теория множеств "разжёвана", как вы пишете. Я не полностью удовлетворён ответами и у меня ещё есть вопросы для уточнения. Или вы уже не будете дальше следить за дискуссией?
ARRY писал(а):Source of the post Anik, я кажется, начал понимать Вас. Вы считаете, что некие зловредные людишки, глядя в потолок, напридумывали какие-то аксиомы, которые не вяжутся со здравым смыслом и совершенно не согласуются с реальными апельсинами, учениками, зайцами, торсионными полями и очередью в гастрономе. Так? Я правильно Вас понял?
Да, правильно. Аксиомы должны быть не "очевидны", а соответствовать реальности, тому, что есть в природе. Возьмите карандаш и линейку, и попробуйте через две точки провести две
различные прямые. Две прямые на плоскости пересекаются в одной точке. Вот ещё аксиома (моя): в природе не существуют
два одинаковых объекта.
«На первых порах геометры XIX в. исправляли Евклида, оставаясь в вопросе об истинности геометрии по существу на позициях Аристотеля, т.е. они считали, что:
- Исходные положения (аксиомы и основные понятия) имеют вполне определённый содержательный смысл; Аксиомы истинны в силу своей очевидности.
- Теоремы истинны, так как они выводятся правильными логическими рассуждениями из истинных аксиом.
Эта точка зрения называется
содержательной. Развитие математики в XIX и XX вв. привело к некоторому новому уровню дедуктивно-аксиоматических построений, который принято называть
формальным. Этот уровень стал необходимым в связи с созданием новых отделов математики, имеющих дело с очень отвлечёнными и мало наглядными конструкциями. Наглядность и очевидность исходных утверждений перестала, тем самым, быть критерием правильности (и полезности) математических построений. Вперёд выдвинулась логическая строгость математических построений. Явная формулировка всех аксиом и посылок стала насущно необходимой.
При формально-аксиоматическом построении теории намеренно отвлекаются от содержательного понимания и вопрос об истинности или очевидности аксиом уже больше не ставится. Аксиоматически построенная математическая теория занимается изучением лишь логических следствий из принятых аксиом. Таким образом, формально-аксиоматический подход преодолевает аристотелевский тезис 1.
Дальнейшее углубление дедуктивного метода, связанного с преодолением тезиса 2, возникает при анализе понятия правильного логического вывода. Оказывается, что для логики также возможно чисто формальное построение, отличающееся от её содержательного понимания». [М.М. Постников, «Аналитическая геометрия», стр. 195].
Обратите внимание в цитате на слова в круглых скобках (во вторых скобках). Видать, Ефимов тоже сомневается в полезности формального аксиоматического подхода. "Вопрос об
истинности аксиом уже не ставится".
Аксиомы нужны. Нужны для того, чтобы выводить из них заключения, которые потом, возможно, можно будет применить и к апельсинам и зайцам.
Вы тоже, как видно, сомневаетесь в том, что заключения из аксиом (теоремы) можно будет, при таком формальном подходе, применить к "апельсинам и зайцам", т.е. в практической деятельности. Почему-то геометрия Евклида с успехом применяется в практической деятельности и не приводит к нечёткости, двусмысленности и парадоксам.
ARRY писал(а):Source of the post Вы считаете, что множество можно построить, лишь собрав все объекты, обладающие, как Вы его называете, коллективизирующим признаком. Верно? Кстати, так считал Кантор и его последователи. Но тогда и столкнулись с тем, что само понятия множества становилось во многих случаях каким-то нечётким, допускающим двусмысленности. А потом уже пришли и парадоксы. И чтобы покончить с неопределённостью, великие умы и придумали аксиомы - ведь надо же на что-то опираться.
По поводу коллективизирующего свойства: это не я так его называю, так называют его авторы учебника. «Дискретная математика», А.И. Белоусов, С.Б. Ткачёв, издательство МГТУ имени Н.М. Баумана, Москва, 2001г. Заметьте: 2001г. Или этот учебник уже безнадёжно устарел? Лично я назвал бы это свойство классифицирующим, потому, что именно по нему и производится классификация (а не коллективизация) объектов. Понятие "коллективизация" вызывает неуместные в данном контексте ассоциации. По поводу: "Но тогда и столкнулись с тем, что само понятия множества становилось во многих случаях каким-то нечётким, допускающим двусмысленности. А потом уже пришли и парадоксы." Нужно ещё разобраться, от чего пришли парадоксы.
ARRY писал(а):Source of the post Асиомы теории множеств - не высосаны из пальца, как у Вас,
Anik:
Anik в 16.11.2016, 15:04 написал(а):
linkЯ могу написать: дважды два четыре, а могу написать: дважды два пять, в зависимости от того, что автору надо?Вы можете принять
как аксиому, но сможете ли Вы из неё что-то выводить?
ARRY, не надо лукавить. В моей цитате стоит вопрос, а возник он в связи с тем, что на один и тот же элемент множества мы можем смотреть как на элемент или как на множество, в зависимости от того поставит ли автор по своей прихоти фигурные скобки или не поставит. И не надо мне присваивать 2х2=5 в качестве моей аксиомы! Если я одного из учеников класса "заключу в фигурные скобки", то это будет подмножество учеников класса, а если без скобок, то элемент множества учеников класса? А как ответить на вопрос: данный ученик заключён в фигурные скобки (кем-то) или нет. Как нужно рассматривать этого ученика как элемент класса или как его подмножество?
ARRY писал(а):Source of the post Скажите, какие из этих утверждений являются истинными, а какие - ложными.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. Дано множество
. Чему равна
- мощность этого множества?
Верные 1, 2, 4. Что касается остальных - они зависят от определения значка принадлежности
. О равенстве 5, я как раз и выясняю вопрос о фигурных скобках.